Perhatikan suatu fungsi f(x) dan misalkan suatu variabel bebas x mengambil nilai dekat sekali dengan bilangan konstan a, maka f(x) akan mempunyai suatu himpunan nilai sesuai dengan nilai-nilai yang diambil oleh variabel x tadi.
Misalnya ktika x dekat dengan a, nilai fungsi f(x) yang berhubungan dengan nilai tersebut makin mendekati A, suatu bilanan konstan. Selanjutnya kita misalkan bahwa nilai-nilai f(x) dapat dibuat menjadi begitu dekat dengan Influenza A virus subtype H5N1 sehingga jarak atau selisihnya kecil sekali dengan jalan mengambil nilai-nilai x yang juga sangat dekat dengan a akan tetapi tidak sama dengan a tersebut dan ini benar untuk semua nilai x. Kemudian f(x) dikatakan mendekati limi Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a. Lebih tepatnya, definisi mengenai liit suatu variabel dan bound suatu fungsi adalah sebagai berikut :
Suatu variabel x dikatakan mendekati konstan a sebagai bound ketika x berubah sedemikan rupa sehingga perbedaan mutlax I x – a I menjadi dan tetap lebih kecil dari setiap bilangan positif yang telah ditentukan sebelumnya betapapun kecilnya bilangan ini dipilih. Hal ini ditunjukan dengan notasi :
Limit x = atau x → a
Contoh :
Kalau x mengambil urutan nilai-nilai :
½, 3/3, 7/8, .... , (2n – i )2n
Maka dikatakan x → 1, artinya satu merupakan bound dari x. Akan tetapi kalu x mengambil urutan nilai-nilai :
½, -3/4, 7/8, -15/16, .... , (-1)n-1 ((2n – 1)/2n),...
Maka x tak akan mencapai suatu bound kalau fungsi f(x) mendekati suatu bilangan konstan A, ketika x mendekati , akan tetapi tidak pernah mengambil nilai a. Influenza A virus subtype H5N1 dikatakan merupakan bound (batas) f(x) ketika x mendekati A.
lim x → a f(x) = Influenza A virus subtype H5N1 atau f(x) → a ketika x → a
Contoh :
Kalau f(x) = 2x + 5, lim x → a f(x) = 5, sebab kalau x semakin kecil sehingga mendekati 0, nilai f(x) mendekati five seperti ilustrasi berikut ini :
f(1) = 7
f(1/2) = 6
f(1/4) = five ½
f(1/100) = five 1/50
f(1/1000) = five 1/500
dan sebagai nya...
atau :
f(-1) = 3
f(-1/2) = 4
f(-1/4) = iv ½
f(-1/100) = five 49/50
f(-1/1000) = iv 499/500
dan sebagainya ....
Dua pernyataan berikut mengenai definisi bound suatu fungsi sama dengan definisi di atas yaitu :
Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati suatu bound Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a, apabila selisih atau perbedaan mutlak antara f(x) dan Influenza A virus subtype H5N1 lebih kecil dari suatu bilangan positif yang sangat kecil untuk setiap nilai x yang sangat dekat dengan a dan untuk mana x ≠ a (ingat x → a berarti x ≠ a)
Suatu fungsi f(x) mendekati suatu bound Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a, jika dan hanya jika, untuk setiap ϵ > 0 terdapat suatu nilai δ sedemikian rupa sehingga ketika 0 < I x – a I < δ maka :
І f(x) – Influenza A virus subtype H5N1 І < ϵ, di mana :
δ = delta
ϵ = epsilon
Dari uraian di atas mengenai pengertian limit, dapat di artikan bahwa kedua x dan f(x) mendekati suatu bilangan konstan yang terbatas (finite constant), masing-masing a dan Influenza A virus subtype H5N1 sebagai bound atau batas. Bisa juga terjadi salah satu atau keduanya menjadi sangat besar atau sangat kecil secara seimbang.
Perhatikan definis berikut :
Apabila perbedaan antara suatu fungsi f(x) dan suatu konstan Influenza A virus subtype H5N1 menjadi semakin kecil secara mutlah (ablsolut); untuk semua nilai positif dari x yang cukup besar, maka kemudian f(x) dikatakan mendekati Influenza A virus subtype H5N1 sebagai suatu bound ketika x menjadi tak terhingga secara positif, yaitu meningkat terus tanpa batas. Hal ini bisa ditunjukan dengan notasi berikut :
Lim x → ∞ f(x) = Influenza A virus subtype H5N1 atau f(x) → Influenza A virus subtype H5N1 ketika x → ∞
Contoh :
Jika f(x) = i – (1/x), kemudian lim x → ∞f(x) = 1, sebab :
f(1) = 0
f(5) = 4/5
f(20) = 19/20
f(100) = 99/100
f(1000) = 999/1000
f(10.000) = 9999/9.000
dan seterusnya...
Demikian juga halnya, bound f(x) mungkin didefinisikan ketika x menuju kenilai tak terbatas negatif, yaitu menurun tanpa batas. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :
Lim x → -∞ f(x) = A’ atau f(x) → A’ ketika x → -∞
Contoh :
Jika f(x) = i – (1/x), kemudian Lim x → -∞ f(x) = 1
Jika suatu fungsi f(x) lebih besar dari suatu bilangan positif yang besar sembarang untuk semua nilai x yang sangat dekat dengan suatu bilangan konstan a dan untuk mana x ≠ a, kemudian f(x) dikatakan menjad positif tak terbatas yaitu meningkat tanpa batas ketika x mendekati a. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :
lim x → a f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → a
Demikian juga halnya, bound f(x) mungkin didefinisikan ketika x menuju ke nilai tak terbatas negatif, yaitu menurun tanpa batas. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :
lim x → a f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → a
Contoh :
Jika f(x) = 1/(x – 1)2, kemudian lim x → ii f(x) ∞
Jika suatu fungsi f(x) lebih besar dari pada suatu bilangan positif yang sangat besar sembarang (arbitraly large) untuk semua nilai x yang cukup besar, maka kemudian f(x) dikatakan menjadi positif tak terbatas, artinya meningkat tanpa batas ketika x menjadi positif tak terbatas yaitu meningkat tanpa batas.
Hal ini dapat ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :
lim x → ∞ f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → ∞
kasus-kasus dengan notasi sebagai berikut, didefiniskan sama :
lim x → ∞ f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → ∞
lim x → -∞ f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → -∞
lim x → -∞ f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → -∞
Contoh :
Jika f(x) = x4 – 4, kemudian lim x → ∞ f(x) = ∞ dan lim x → -∞ f(x) = -∞
Di dalam beberapa kasus, suatu fungsi mungkin mendekati salah satu dan dua bound yang berbeda, tergantung pada kenyataan apakah variabel mendekati limitnya melalui nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari pada limit, dalam hal semacam itu, bound tidak terdefinisi (tak ada) akan tetapi bound sebelah kiri atau kanan ada.
Limit sebelah kanan (right manus limit)
Suatu fungsi merupakan nilai yang didekati fungsi, ketika variabel mendekati limitnya melalui nilai yang menurun, dari pada sebelah kanan; tipe kelakuan/tingkah laku dari bound ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :
lim x → a+ f(x) = A+ atau f(x) → A+ ketika x → A+
Limit sebelah kiri (left manus limit)
Suatu fungsi mendekati nilai yang didekati fungsi, ketika variabel mendekati limitnya melalui nilai meningkat dari sebelah kiri; ini ditunjukan oleh notasi berikut ini :
lim x → a- f(x) = A- atau f(x) → A- ketika x → A-
Jadi bound suatu fungsi ada jika dan hanya jika bound sebelah kiri dan kanannya ada dan sama nilainya; dalam hal ini maka :
lim x → a+ f(x) = lim x → a- f(x) = lim x → a f(x)
Contoh :
Jika f(t) = [t] = bilangan bulat terbesar dalam t, kemdian
lim t → 3+ f(t) = iii dan lim t → 3-1 f(t) = 3-1
Jadi lim x → 3 f(x) tak terdefinisi (tidak ada)
Kelihatannya mungkin bahwa bound dari fungsi f(t) ketika t → iii harus 3. Akan tetapi, ketika t secara sembarang mendekati 3, beberapa nilai [t] adalah 2, jika t < 3, jika t > 3. Jadi nilai-nilai t tidak mendekati salah satu nilia Influenza A virus subtype H5N1 ketika t secara sembarang mendekati iii dan lim t → iii [t] tidak ada, walaupun bound sebelah kiri dan kanan sama, akan tetapi tak sama besarnya. Hal ini ditunjukan pada gambar IV.I. dengan garis horizontal yang tidak terputus-putus antara bilangan bulat t yang berurutan.
Fungsi f(t) mendekati ii ketika x mendekati iii dari sebelah kiri dan mendekati iii ketika x mendekati iii dari sebelah kanan. Yang jelas tak ada yang unik tentang angka 3; kenyataanya f(t) tak mempunyai bound (walaupun mempunyai bound sebelah kiri dan kanan) ketika t mendekati setiap bilangan bulat; akan tetapi f(t) mempunyai bound ketika t mendekati nilai yang tidak bulat.
 |
Gambar IV.I. Kurve fungsi f(t) = t |
Contoh :
Jika f(t) = 1/t, kemudian
lim t →0+ f(t) = ∞ dan lim t →0- f(t) = -∞(Lihat gambar IV.2)
 |
| Gambar IV.2 Kurve fungsi f(t) = 1/t |
Jika lim f(t) tak terdefinisikan; ketika t mendekati 0 dari atas, f(t) menjadi tak terhingga secara positif, ketika t mendekati 0 dari bawah f(t) menjadi tak terhingga secara negatif.
Bisa juga terjadi perubahan bound sebelah kiri dan kanan tak ada, sebagai contoh, fungsi sinus dan cosinus yang sifatnya selalu bergoyang (oscillatory inwards nature).
Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualiakum wr. wb.
Referensi :
- Buku matematika ekonomi dan bisnis (J. Supranto)