Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Prinsip Induksi Matematika, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !
 |
| Sifat Prinsip Induksi Matematika |
Sifat Prinsip Induksi Matematika
Berdasarkan sifat (e) aksioma peano, kita dapat membuktikan pernyataan yang berlaku bagi setiap bilangan asli.
1. Sifat prinsip induksi matematika pertama
Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan dengan setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan.
- Jika P(1) benar, dan
- Jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.
Contoh :
Buktikan bahwa 12 + 22 + ...+ n2 = (n(2n + 1)(n + 1))/6 , benar untuk n = 1, 2, .....
Jawaban :
Kita lakukan dua langkah pembuktian, yaitu :
a. Pertama, kita uji untuk n = 1
Ruas kiri sama dengan 12 = one dan ruas kanan
(1(2 . one + 1)(1 + 1))/6 = (1 . 2. 3)/6 = 1
Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
b. Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k yaitu :
12 + 22 + ...+ k2 = (k(2k + 1)(k + 1))/6 (1)
Sekarang kita buktikan persamaan benar untuk n = k + 1, yaitu :
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = ((k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1))/6
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = ((k + 1)(2k + 3)((k + 2))/6 (2)
Mulai dengan persamaan (1), kita tambah (k + 1)2 pada kedua ruas, maka :
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = ((k(2k + 1)(k + 1))/6) + (k + 1)2
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)[((k(2k + 1))/6) + (k + 1)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)[((2k2 + k + 6k + 6))/6)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)/6[2k2 + 7k + 6]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)/6[(((2k2 + 4)(2k + 3))/2)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = ((k + 1)(k + 2)(2k + 3))/6
Bentuk terakhir telah sesuai dengan yang diminta pada persamaan (2). Dengan demikian kita telah membuktikan pernyataan di atas benar untuk setiap n.
2. Sifat prinsip induksi matematika kedua
Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap m < k mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.
Contoh :
Buktikan bahwa (2 + √3)n + (2 - √3)n selalu merupakan bilangan bulat untuk n ∈ N !!!
Jawaban :
a. Untuk n = 1, maka :
(2 + √3)1 + (2 - √3)1 = 4
Merupakan bilanga bulat, jadi pernyataan benar untuk n = 1.
b.Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli m < k, artinya :
bahwa (2 + √3)k+1 + (2 - √3)k+1 = iv juga bilangan bulat. Tetapi :
ak+1 + bk+1 = (ak + bk )(a + b) - abk - bak
ak+1 + bk+1 = (ak + bk )(a + b) - ab(ak-1 + bk-1 )
dengan a = two + √3 dan b = two - √3. Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat. Berdasarkan asusmsi bahwa ak+1 + bk+1 , ak-1 + bk-1 , a + b bilangan bulat, ak+1 + bk+1 maka juga bilangan bulat. Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.
3. Sifat modifikasi prinsip induksi matematika pertama
Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n > a.
Contoh :
Jika R = (2 + √3)n dan f merupakan bagian pecahannya, buktikan bahwa R(1 - f) = 1 !!!
Jawaban :
Berdasarkan contoh pada sifat prinsip induksi matematika kedua kita tahu bahwa (2 + √3)n + (2 - √3)n merupakan bilangan bulat. Dengan cara induksi, kita dapat membuktikan bahwa :
0 < (2 - √3)n <1
Untuk setiap n. Jadi, jika f bagian pecahan dari (2 + √3)n, maka :
1 - f = (2 - √3)n
Jadi :
R(1 - f) = (2 + √3)n (2 - √3)n
R(1 - f) = (4 - 3)n
R(1 - f) = 1
Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Saya sarankan juga untuk baca artikel di bawah ini :
Saya sarankan juga untuk baca artikel di bawah ini :
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
- Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)