Mengapa dalam matematika banyak teorema ?
Teorema adalah senjata untuk melawan musuh-musuh, yang artinya musuh tersebut dalam matematika adalah soal. Bisa soal yang dibuat secara rekayasa ataupun bisa juga soal atau masalah yang terjadi secara spontan atau nyata. Jadi intinya teorema itu dibuat untuk memecahkan masalah-masalah yang dihadapi.
Rumus teorema dasar kalkulus :
Jika f kontiniu dan mempunyai anti-turunan F pada (a,b), maka :
b∫a f(x)dx = f(b) - F(a)
Catatan :
- Teorema ini mengaitkan integral tak tentu dengan integral tentu.
- Notasi F(x)|ab bisa digunakan untuk menyatakan F(b) - F(a).
Bukti Teorema Dasar Kalkulus I
Misalkan f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a,b]. Maka, f terintegrasikan pada [a,b], dan untuk setiap partisi a = x0 < x1 < x2 < .... < xn-1 < xn = b kita mempunyai :
F(b) - (a) = nΣi=1 [F(xi) - F(xi-1)]
F(b) - (a) = nΣi=1 f(ti)∆xi
Karena itu b∫a f(x)dx = lim|p|→0 nΣi=1 f(ti)∆xi = F(b) - F(a)
Contoh :
Untuk r ≠ -1, fungsi f(x) = xr kontinu dan mempunyai anti-turunan F(x) = xr+1 pada [a,b]; jadi :
b∫a xrdx = xr+1/r+1|ab = (br+1/r+1) - (ar+1/r+1)
Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
- chanel youtube Institute Teknologi Bandung