Pembuktian Koefisien Binomial

Hallo temen-temen???

Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.

Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D

Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)

Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....

Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.

Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Pembuktian Koefisien Binomial, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Koefisien Binomial

Bukti Cⁿ_r muncul dalam uraian binomial, yaitu untuk n = 0, 1, 2, ..... berlaku :

(a + b)ⁿ = Cⁿ₀ aⁿ + Cⁿ₁ a^n-1 b + Cⁿ₂ a^n-2 b² +... + Cⁿ_n-1 ab^n-1 + Cⁿ_n bⁿ

(a + b)ⁿ = ∑ⁿ_{r = 0} Cⁿ_r a^n-r b^r

Bukti Pertama :

Dengan menggunakan induksi matematika :

Untuk n = 0

(a + b)⁰ = C⁰₀ a⁰ b⁰ = 1

Berasarkan definisi :

Asumsikan benar untuk n = k, yaitu :

(a + b)^k = ∑^k_{r = 0} C^k_r a^k-r b^r

Sekarang akan dibuktikan untuk n = k + 1. Kita mulai dari :

(a + b)^{k + 1} = (a + b)(a + b)^k

(a + b)^{k + 1} = (a + b) ∑^k_{r = 0} C^k_r a^{k - r} b^r

(a + b)^{k + 1} = ∑^k_{r = 0} C^k_r a^{k + i - r} b^r + ∑^k_{r = 0} C^k_r a^{k - r} b^{r + 1}

(a + b)^{k + 1} = C^k₀ a^{k + 1} + C^k₁ a^k b + C^k₂ a^k-1 b² +... + C^k_k ab^k + C^k₀ a^k b + C^k₁ a^k-1 b² + ... + C^k_k-1 ab^k + C^k_k b^k+1

Dengan menjumlahkan suku sejenis maka diperoleh :

(a + b)^{k + 1} = C^k₀ a^{k + 1} + (C^k₁  + C^k0) a^k b + (C^k₂  + C^k1) a^k-1 b² + ..... + (C^k_k  + C^kk-1) ab^k + C^kk b^k+1

Berdasarkan kesamaan (1), maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai :

(a + b)^{k + 1} = C^k+1₀ a^{k + 1} + C^k+1₁ a^k b + C^k+1₂ a^k-1 b² +....+ C^k+1_k ab^k + C^k+1_k+1 b^k+1

Jadi telah terbukti untuk n = k + 1. Berdasarkan induksi matematika kita telah membuktikan yang diminta.

Bukti kedua :

Kita ingin menghitung bagian a^{n -r} b^r dari :

(a + b)ⁿ = {(a + b)(a + b)....(a + b)} sampai n unsur

artinya kita harus memilih r unsur b dari n unsur yang ada, dan memilih a dari sisanya.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Sayarankan juga untuk membaca artikel :

• Aturan Dasar Menambah
• Aturan Dasar Mengkalikan 
• Bilangan Kombinatorial
• Perumuman Prinsip Rumah Burung
• Prinsip Injeksi dan Bijeksi
• Prinsip Inklusi dan Eksklusi
• Prinsip Rumah Burung Kombinatorik 
• Rumus Permutasi Siklis
• Rumus Rekursif
• Teorema Ramsey (Kombinatorik) 

Referensi :

• Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)