Showing posts with label Kombinatorik. Show all posts
Showing posts with label Kombinatorik. Show all posts

Aturan Dasar Menambah

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Aturan Dasar Menambah, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Aturan Dasar Menambah

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama, maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota masing-masing himpunan.

Contoh :

Ada dua cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta, yaitu menggunakan pesawat terbang atau menggunakan kreta. Untuk pesawat terbang ada 4 penerbangan dan untuk kreta ada 3 kreta. Berapa banyak cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta ??

Jawab :
Karena cara bepergian dari DKI Jakarta ke Yogyakarta dengan udara dan darat merupakan dua hal yang terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan :
4 + three = 7.
Jadi banyak cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta ada 7cara.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku Olimpiade matematika ( Wono Setya Budha, Ph. D )

Aturan Dasar Mengkalikan

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Aturan Dasar Mengkalikan , Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment jibe it out !

Aturan Dasar Mengkalikan 

Misalkan ada suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkag pertama ada r1 cara dan langkah ke dua ada r2 cara, maka prosedur tersebut dapat dilakukan dengan r1r2 cara.

Contoh :

Misalkan kita pergi dari kota A ke C harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Kita akan menghitung banyak cara untuk pergi dari kota A ke C dan melalui B.
Jawab :
Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihlah jalan dari B ke C tidak tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian, banyaknya cara dari kota A ke C melalui B adalah 3 . ii = 6. Jalan tersebut adalah :
a1, a2, b1, b2, c1, c2.

Dengan a1 mempunyai arti menggunakan jalan a (dari A ke B) dan jalan 1 (dari B ke C), dan c2 mempunyai arti menggunakan jalan c (dari A ke B) dan jalan 2 (dari B ke C), demikian seterusnya.

Secara sederhana, kita dapat menghitung contoh terakhir dengan cara berikut. Pertama, kita sediakan dua kotak (karena ada dua tahap). Kemudian kotak pertama diisi dengan banyaknya cara tahap pertama, dan kotak kedua diisi dengan banyaknya cara tahap kedua. Jumlah semua cara adalah hasil kali dari isi kotak yaitu :
3 x 2 = six cara

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Rumus Permutasi Siklis

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Rumus Permutasi Siklis, Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment friction match it out !

Permutasi Siklis

Misalkan kita mempunyai tiga orang a, b, dan c. Jika mereka duduk berjajar 3 orang, maka susunan duduk menjadi :
abc, acb, bca, bac, cab, cba

Tetapi sekarang mereka duduk mengelilingi meja bundar. Berapakah banyak semua kemungkinan susunan posisi duduk mereka.
Perhatikan bahwa dalam melingkar, posisi abc, cab, bca ( menggeser semua simbol secara bersama) hanya memberikan satu posisi. Demikian pula posisi acb, cba, bac juga memberikan satu posisi. Sehingga posisi tiga orang duduk melingkar hanya ada dua, yaitu posisi abc dan acb saja. Posisi duduk melingkar ini disebut Permutasi Siklis.

Rumus Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi (posisi) siklis dari n unsur adalah :

Psiklis (n) = n!/n = (n - 1)!

Contoh soal :

Diketahui ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk mengeliling meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan duduk mereka !!!

Jawab :
Banyaknya susunan untuk mereka duduk adalah :
Psiklis (8) = (8 - 1)!
Psiklis (8) = 7!
Psiklis (8) = seven x vi x v x four x iii x ii x 1
Psiklis (8) = 5.040

Jadi banyaknya susunan duduk mereka adalah 5.040 susunan.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Prinsip Inklusi Dan Eksklusi

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Prinsip Inklusi dan Eksklusi, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern agree it out !
Prinsip Inklusi Dan Eksklusi

Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Prinsip Inklusi dan eksklusi yang paling sederhana tampak pada saat kita mempelajari prinsip menambah kardinalitas dari dua himpunan. Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka banyaknya anggota dari himpunan A ∪ B adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - ?

dengan n(A), n(B) masing-masing menyatakan banyaknya anggota di A dan B. Pada tahap ini kita memasukan semua anggota (inklusi) dan telah terjadi perhitungan dua kali pada anggota A ∩ B. Sekarang kita akan membuang hal ini (eksklusi) dengan mengurangi di ruas kanan. Rumus yang tepat untuk ini adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Sekarang untuk tiga himpunan A, B, C. Dengan cara yang sama, diperoleh :
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - ....

ada banyak anggota yang kita hitung dua kali, yaitu A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A. Oleh karena itu :
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + .....

Pada proses ini ada pengurangan sebanyak tiga kali untuk anggota di A ∩ B ∩ C. Secara keseluruhan, anggota di A ∩ B ∩ C telah dihitung tiga kali di n(A), n(B), n(C), kemudian diambil tiga kali, yaitu di n( A∩ B), n(B ∩ C), n(C ∩ A). Oleh karena itu perlu ditambah sekali. Jadi rumus yang tepat adalah :

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

Untuk kegunaan menghitung, seringkali kita perlu menghitung jumlah anggota komplemen dari suatu himpunan. Jika A suatu subhimpunan dari S, maka :

A = {x ∈ southward | x ∉ Influenza A virus subtype H5N1 }

disebut komplemen A. Mudah diterima bahwa :
n(S) = n(A) + n(A) atau n(A) = n(S) - n(A)

Karena :
A ∪ B  = AB

Maka :

n(AB) = n(S) - n(A B)
n(AB) = n(S) - n(A) - n(B) + n(A ∩ B)

Contoh soal :

Carilah banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi 5, 6, dan 8!!

Jawab :
Kita tulis S = {1, 2, ...., 1000} dan
A1 = { x ∈ southward | x habis dibagi v }
A2 = { x ∈ southward | x habis dibagi half dozen }
A3 = { x ∈ southward | x habis dibagi 8 }

Kita ingin menghitung nilai n( A1 ∩ A2 ∩ A3).
Kita mengetahui Bahwa :
n(A1) = [1000/5] = 200
n(A2) = [1000/6] = 166
n(A3) = [1000/8] = 125

dengan [x] mempunyai arti sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x.
Sedangkan, A1 ∩ A2 terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 5 dan 6. Karena PBT (5, 6) = 1, maka A1 ∩ A2 terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 30 = KPK (5, 6) dan
n(A1 ∩ A2) = [1000/30] = 33

Sejalan dengan di atas :
n(A1 ∩ A3) = [1000/40] = 25
n(A2 ∩ A3) = [1000/24] = 41

Serupa dengan di atas, bahwa KPK (5, 6, 8)  = 120, maka :
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = [1000/120] = 8

Oleh karena itu :
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = n(S) - n(A1 ∪ A2 ∪ A3)
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = chiliad - 200 - 166 - 125 + 33 + 25 + 41 - 8
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 600

Jadi banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi oleh 5, 6, dan 8 adalah 600 bilangan.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Bilangan Kombinatorial

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Bilangan Kombinatorial, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern gibe it out !
Kombinatorial

Bilangan Kombinatorial

Bilangan Cnr dapat diartikan sebagai bilangan yang menyatakan banyaknya cara mengambil r unsur dari n unsur.

Proposisi :

Untuk setiap bilangan asli n dan r < n berlaku :

Cnr = Cn-1r-1 + Cn-1r

Bukti :

Kita dapat membuktikan ini dengan menggunakan definisinya, yaitu :

Cnr = n!/(r!(n - r))
Cnr = ((n - 1)!n)/(r!(n - r))
Cnr = (((n - 1)!(n - r))/(r!(n - r)!)) + (((n - 1)!r)/(r!(n - r)!))
Cnr = ((n - 1)!/(r!(n - r - 1)!)) + ((n - 1)!/((r - 1)!(n - r)!))
Cnr = Cn-1r + Cn-1r-1

Bukti lain dapat dilakukan dengan menggunakan kombinatorik. Jika diketahui n benda dinayatkan sebagai {1, 2, ...., n}, maka banyaknya cara mengambil r unsur adalah Cnr. Tetapi kita dapat menghitung ini dengan cara lain. Pada pengambilan r unsur ada dua kemungkinan yang terjadi, yaitu unsur 1 termasuk yang diambil dan tidak termasuk yang diambil.
Jika 1 termasuk yang diambil, maka kita tinggal mencari r - 1 unsur dari n - 1 benda. Dalam hal ini ada Cn-1r-1 cara.
Jika 1 tidak termasuk yang diambil, maka kita harus mencari r unsur dari n - 1 benda. Dalam hal ini ada Cn-1r cara. Jumlah keduanya harus sama .dengan Cnr.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Pembuktian Koefisien Binomial

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Pembuktian Koefisien Binomial, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Koefisien Binomial

Bukti Cnr muncul dalam uraian binomial, yaitu untuk n = 0, 1, 2, ..... berlaku :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an-1 b + Cn2 an-2 b2 +... + Cnn-1 abn-1 + Cnn bn
(a + b)n = ∑nr = 0 Cnr an-r br

Bukti Pertama :

Dengan menggunakan induksi matematika :
Untuk n = 0
(a + b)0 = C00 a0 b0 = 1

Berasarkan definisi :
Asumsikan benar untuk n = k, yaitu :
(a + b)k = ∑kr = 0 Ckr ak-r br

Sekarang akan dibuktikan untuk n = k + 1. Kita mulai dari :
(a + b)k + 1 = (a + b)(a + b)k
(a + b)k + 1 = (a + b) ∑kr = 0 Ckr ak - r br
(a + b)k + 1 = ∑kr = 0 Ckr ak + i - r br + ∑kr = 0 Ckr ak - r br + 1
(a + b)k + 1 = Ck0 ak + 1 + Ck1 ak b + Ck2 ak-1 b2 +... + Ckk abk + Ck0 ak b + Ck1 ak-1 b2 + ... + Ckk-1 abk + Ckk bk+1

Dengan menjumlahkan suku sejenis maka diperoleh :
(a + b)k + 1 = Ck0 ak + 1 + (Ck + Ck0) ak b + (Ck + Ck1) ak-1 b2 + ..... + (Ck + Ckk-1) abk + Ckk bk+1

Berdasarkan kesamaan (1), maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai :
(a + b)k + 1 = Ck+10 ak + 1 + Ck+11 ak b + Ck+12 ak-1 b2 +....+ Ck+1k abk + Ck+1k+1 bk+1

Jadi telah terbukti untuk n = k + 1. Berdasarkan induksi matematika kita telah membuktikan yang diminta.

Bukti kedua :

Kita ingin menghitung bagian an -r br dari :
(a + b)n = {(a + b)(a + b)....(a + b)} sampai n unsur

artinya kita harus memilih r unsur b dari n unsur yang ada, dan memilih a dari sisanya.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Teorema Ramsey (Kombinatorik)

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Teorema Ramsey (Kombinatorik), Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Teorema Ramsey (Kombinatorik)

Salah satu pernyataan yang berkaitan dengan teorema ramsey adalah :

"Jika ada vi orang atau lebih, maka ada iii orang yang saling mengenal, atau ada iii orang yang tidak saling mengenal.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan contoh di bawah ini :

Contoh :

Jika ada vi titik (atau lebih) dan masing-masing titik dihubungkan dengan garis yang diwarnai merah atau biru. Perlihatkan bahwa selalu ada iii titik yang saling dihubungkan garis dengan warna sama !!!

Jawaban :


Diantara AB, AC, AD, AE, AF lima garis ini selalu ada tiga yang berwarna sama. Misalkan AB, AC, AD semuanya berwarna merah.
Jika salah satu dari BC, CD, BD berwarna merah, misalkan CD merah, maka 3 titik A, C, D dihubungkan dengan garis-garis merah. Dalam hal lain (yaitu BC, CD, BD semuanya biru), maka ketiga titik B, C, D tiga titik yang dihubungkan oleh tiga garis biru.
Pertanyaannya kemudian, jika jumlah titik diganti dengan 5, apakah kesimpulan bahwa ada tiga titik yang berwarna sama tetap berlaku. Pada gambar diperlihatkan 5 titik dengan 10 garis yang menghubungkan tetapi tidak ada 3 titik yang dihubungkan dengan warna yang sama.
Pada kasus di atas, garis yang menghubungkan diberi warna dua macam yaitu merah atau biru. Sekarang, kita akan melihat jika garis diberi warna 3 macam.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Sayarankan juga untuk membaca artikel :
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)