Home Posts filed under Teori Bilangan
Showing posts with label Teori Bilangan. Show all posts
Showing posts with label Teori Bilangan. Show all posts

Sifat Aksioma Peano

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Aksioma Peano , Tanpa panjang lebar lagi yo banking enterprise fit it out !

Sifat Aksioma Peano 

Himpunan bilangan asli N adalah himpunan yang mempunyai sifat :
  1. Bilangan 1 anggota N.
  2. Untuk setiap n ∈ N ada tunggal anggota lain n* yang disebut sebagai pengikut n.
  3. Untuk setiap n ∈ N, maka n* ≠ 1.
  4. Jika m, n ∈ N dan m* = n*, maka m = n.
  5. Untuk setiap subhimpunan K ⊂ northward dengan sifat :
    • 1 ∈ K
    • Jika k ∈ K, maka k* ∈ K
    Maka K = N
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Sifat Aljabar Bilangan Asli

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Aljabar Bilangan Asli, Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment fit it out !

Sifat Aljabar Bilangan Asli

Pada bilangan asli terdapat operasi + (penjumlahan) dan . (perkalian) dengan sifat :

a. Sifat assosiatif untuk penjumlahan

Untuk Setiap bilangan asli m, n, p ∈ N berlaku :
(m + n)  + p = 1000 + (n + p)

b. Sifat komutatif untuk penjumlahan

Untuk setiap m, n, ∈ N berlaku :
m + n = n + m

c. Hukum penghapusan untuk penjumlahan

Jika m + p = n + p, maka :
m = n

d. Mempunyai unsur identitas terhadap perkalian

Untuk setiap bilangan asli n ∈ N, berlaku :
1 . n = n

e. Sifat assosiatif untuk perkalian

Untuk setiap bilangan asli m, n, p ∈ N berlaku :
(m . n) . p = 1000 . (n . p)

f. Sifat komutatif untuk perkalian

Untuk setiap m, n, ∈ N berlaku :
m . n = n . m

g. Hukum penghapusan untuk perkalian

Jika m . p = n . p, maka :
m = n

h. Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap m, n, p ∈ N berlaku :
p . (m + n) = p . 1000 + p . n

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku Olimipade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Sifat Urutan Bilangan Asli

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Urutan Bilangan Asli, Tanpa panjang lebar lagi yo banking corporation fit it out !

Sifat Urutan Bilangan Asli

Pada himpunan bilangan aslu terdapat urutan < dengan sifat :
  1. Sifat trikotomi
    Untuk setiap m, n ∈ N memenuhi tepat satu dari yang berikut :
    m < n, one thousand = n, n < m
  2. Sifat transitif
    Jika m < n dan n < p, maka m < p.
  3. Sifat monoton untuk penjumlahan
    Jika m < n maka m + p < n + p untuk setiap p ∈ N.
  4. Sifat monoton untuk perkalian
    Jika m < n maka mp < np untuk setiap p ∈ N.

Definisi :

Misalkan m, n ∈ N, maka :
  1. m > n jika n < m
  2. m < n jika one thousand < n atau one thousand = n
  3. m > n jika one thousand > n atau one thousand = n

Sifat prinsip terurut rapi

Setiap subhimpunan bilangan asli tak kosong selalu mempunyai unsur terkecil.

Bukti :

Tulis S sebagai subhimpunan tak kosong dari N. Jika 1 ∈ S, maka S sudah memuat unsur terkecil dan bukti selesai.
Oleh karena itu, kita dapat menganggap bahwa i ≠ southward dan southward tidak mempunyai unsur terkecil. Kemudian, perhatikan himpunan :
T = {n ∈ north │ n < s untuk setiap s ∈ S}

Perhatikan bahwa 1 ∈ T, maka T ≠ Ø. Jika r ∈ T berlaku r + i ∈ T juga, maka T = N. Karena S ≠ Ø, maka T ≠ N. Dengan demikian ada r ∈ T sehingga r + i ∉ T. Bilangan r ∈ S sebab jika tidak terjadi, berdasarkan sifat himpunan T, maka r < s untuk setiap s ∈ S. Dengan demikian r + i < s untuk setiap s ∈ S. Ini berarti r + i ∈ T, bertentangan dengan kenytaan di atas. Jadi S harus mempunyai unsur terkecil. 

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Sifat Prinsip Induksi Matematika

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Sifat Prinsip Induksi Matematika, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !
Sifat Prinsip Induksi Matematika

Sifat Prinsip Induksi Matematika

Berdasarkan sifat (e) aksioma peano, kita dapat membuktikan pernyataan yang berlaku bagi setiap bilangan asli.

1. Sifat prinsip induksi matematika pertama

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan dengan setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan.
  1. Jika P(1) benar, dan
  2. Jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh :

Buktikan bahwa 12 + 22 + ...+ n2 = (n(2n + 1)(n + 1))/6 , benar untuk n = 1, 2, .....

Jawaban :

Kita lakukan dua langkah pembuktian, yaitu :

a. Pertama, kita uji untuk n = 1
Ruas kiri sama dengan 12 = one dan ruas kanan
(1(2 . one + 1)(1 + 1))/6 = (1 . 2. 3)/6 = 1

Jadi pernyataan benar untuk n = 1.

b. Langkah kedua, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k yaitu :
12 + 22 + ...+ k2 = (k(2k + 1)(k + 1))/6  (1)

Sekarang kita buktikan persamaan benar untuk n = k + 1, yaitu :
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = ((k + 1)(2(k + 1) + 1)((k + 1) + 1))/6
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1) = ((k + 1)(2k + 3)((k + 2))/6  (2)

Mulai dengan persamaan (1), kita tambah (k + 1)2 pada kedua ruas, maka :
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = ((k(2k + 1)(k + 1))/6) + (k + 1)2
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)[((k(2k + 1))/6) + (k + 1)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)[((2k2 + k + 6k + 6))/6)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)/6[2k2 + 7k + 6]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = (k + 1)/6[(((2k2 + 4)(2k + 3))/2)]
12 + 22 + ...+ k2 + (k + 1)2 = ((k + 1)(k + 2)(2k + 3))/6

Bentuk terakhir telah sesuai dengan yang diminta pada persamaan (2). Dengan demikian kita telah membuktikan pernyataan di atas benar untuk setiap n.

2. Sifat prinsip induksi matematika kedua

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(1) benar, dan jika P(m) benar untuk setiap m < k mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap n.

Contoh :

Buktikan bahwa (2 + √3)n + (2 - √3)n selalu merupakan bilangan bulat untuk n ∈ N !!!

Jawaban :

a. Untuk n = 1, maka :
(2 + √3)1 + (2 - √3)1 = 4

Merupakan bilanga bulat, jadi pernyataan benar untuk n = 1.

b.Jika k bilangan asli, asumsikan bahwa pernyataan benar untuk semua bilangan asli m < k, artinya :
bahwa (2 + √3)k+1 + (2 - √3)k+1 = iv juga bilangan bulat. Tetapi :
ak+1 + bk+1 = (ak + bk )(a + b) - abk - bak
ak+1 + bk+1 = (ak + bk )(a + b) - ab(ak-1 + bk-1 )

dengan a = two + √3 dan b = two - √3. Kita dapat menguji langsung bahwa ab bilangan bulat. Berdasarkan asusmsi bahwa ak+1 + bk+1 , ak-1 + bk-1 , a + b bilangan bulat, ak+1 + bk+1 maka juga bilangan bulat. Berdasarkan prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan pernyataan yang diminta.

3. Sifat modifikasi prinsip induksi matematika pertama

Misalkan {P(n) : n ∈ N} kumpulan pernyataan untuk setiap bilangan asli mempunyai satu pernyataan. Jika P(a) benar untuk suatu bilangan asli a, dan jika P(k) benar mengakibatkan bahwa P(k + 1) juga benar, maka pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n > a.

Contoh :

Jika R = (2 + √3)n dan f merupakan bagian pecahannya, buktikan bahwa R(1 - f) = 1 !!!

Jawaban :

Berdasarkan contoh pada sifat prinsip induksi matematika kedua kita tahu bahwa (2 + √3)n + (2 - √3)n merupakan bilangan bulat. Dengan cara induksi, kita dapat membuktikan bahwa :
0 < (2 - √3)n <1

Untuk setiap n. Jadi, jika f bagian pecahan dari (2 + √3)n, maka :
1 - f = (2 - √3)n

Jadi :
R(1 - f) = (2 + √3)n  (2 - √3)n
R(1 - f) = (4 - 3)n
R(1 - f) = 1

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Saya sarankan juga untuk baca artikel di bawah ini :
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Penyajian Bilangan

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Penyajian Bilangan, Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment agree it out !

Penyajian Bilangan

Dalam sehari-hari, arti bilangan 347 adalah :
347 = iii . 102 + iv . 10 + 7

Secara umum, semua bilangan asli dapat dituliskan dalam bentuk :

ak 10k + ak-1 10k-1 + ... + a0

Untuk suatu bilangan asli k dengan 0 < ak < 9 dan 0 < ai < 1 untuk setiap i = 0, 1, .... , k - 1. Bilangan 10 disebut basis dari bilangan. Untuk contoh di atas, k = 2 dan ak = a2 = 3; ak - 1 = a1 = 4 dan a0 = 7. Tulislah dengan huruf kecil k, k - 1, .... , 0 pada huruf a disebut indeks dan digunakan sebagai nomor.

Kita juga dapat menyajikan bilangan dengan footing yang lain.

Sifat :

Misal one thousand bilangan asli. maka setiap bilangan asli n dapat disajikan dalam bentuk :
n = ak mk + ak-1 mk-1 + .... a0.

dengan k, ak, ak-1, ... , a0 bilangan bulat dengan k > 0, 0 < ak < one thousand dan 0 < ai < m.
Bilangan n ditulis :
(ak, ak-1, ... , a0)m

Perhatikan kembali bilangan :
347 = iii . 102 + iv . 10 + 7
347 = 10 (3 . 102 + 4) + 7

Bilangan 7 adalah sisa pembagian 347 oleh 10. Selanjutnya, jika :
347 - seven = iii . 102 + iv . 10
340 = 10 (3 . 10 + 4)
34 = iii . 10 + 4

Maka 4 adalah sisa pembagian 34. Demikian seterusnya.

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan angka dari bilangan pada footing lain.

Contoh :

Tuliskan bilangan 187 = 1 . 102 + 8 . 10 + 7 denga footing 2 !!

Jawaban :

Seperti di atas, bilangan 187 kita bagi dengan 2, maka :
187 = 93 . ii + 1

Berdasarikan hasil ini kita tahu bahwa penyajian 187 dalam footing 2 mempunyai angka akhir 1. Kita lanjutkan proses pembagian dengan 2 perolehan :
187 = 93 . ii + 1
187 = (46 . ii + 1) . 2 + 1
187 = 46 . 22 + ii + 1
187 = 23 . ii . 22 + ii + 1 
187 = 23 . 23 + ii + 1

dan seterusnya. Penyajian bilangan 187 dengan footing 2 akan berakhir dengan 11. hasil akhir adalah :
1 + 27 + 25+ 24 + 23 + ii + 1

atau :
1 . 27 + 0 . 26 + 1 . 25 + 1 . 24 + 1. 23 + 0.22 + 1 . 21 + 1. 20

dan 187 dalam footing dua ditulis sebagai :
(10111011)2

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Aksioma Bilangan Bulat

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Aksioma Bilangan Bulat, Tanpa panjang lebar lagi yo banking corporation jibe it out !
Aksioma Bilangan Bulat

Aksioma Bilangan Bulat

Himpunan bilangan Z merupakan himpunan bilangan yang merupakan perluasan bilangan asli. Seperti pada bilangan asli, terdapat beberapa sifat yang harus dimiliki oleh himpunan bilangan bulat.

Sifat aljabar :

Himpunan bilangan bulat mempunyai dua operasi yaitu + (tambah) dan . (kali) dengan sifat :

  1. Sifat assosiatif untuk penjumlahan.

    Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku :
    (a + b) + c = a + (b + c)

  2. Sifat komutatif untuk penjumlahan

    Untuk setiap bilangan bulat a, b berlaku :
    a + b = b + a

  3. Unsur identitas terhadap penjumlahan

    Ada bilangan 0 sehingga untuk setiap bilangan bulat berlaku :
    a + 0 = 0 + a = a

  4. Unsur invers terhadap penjumlahan

    Untuk setiap bilangan bulat a ada bilangan bulat b sehingga :
    a + b = 0

  5. Sifat assosiatif untuk perkalian

    Untuk setiap bilangan bulat a, b, c berlaku :
    (a . b) . c = a . (b . c)

  6. Sifat komutatis untuk perkalian

    Untuk setiap bilangan bulat a, b berlaku :
    a . b = b . a
  7. Unsur identitas terhadap perkalian
    Ada bilangan i sehingga untuk setiap bilangan bulat berlaku :
    a . i = i . a = a

Sifat Urutan

Ada subhimpunan P dari bilangan bulat yang disebut sebagai bilangan positif (dalam hal ini bilangan asli) dengan sifat :
  1. Untuk setiap bilangan bulat a berlaku satu dan hanya satu dari kemungkinan berikut :
    a ∈ P, a = 0, atau -a ∈ P
  2. Jika a, b di P, maka a + b juga di P.
  3. Jika a, b di P, maka a . b juga di P.
Dengan sifat ini kita dapat mendefinisikan urutan.

Definisi bilangan bulat a, b disebut a < b jika b - a di P

Perhatikan bahwa untuk setiap a di P berlaku 0 < a sebab a - 0 = a. Berdasarkan sifat di atas, maka berlaku :
  1. Untuk setiap dua bilangan bulat a, b berlaku satu dan hanya satu dari berikut :
    a < b, a = b, b < a
  2. Jika berlaku a < b dan 0 < c, maka a + c < b + c
  3. Jika berlaku a < b dan 0 > c, maka ca < cb
Selain tanda <, kita juga akan menggunakan tanda > yaitu a > b jika dan hanya jika b < a.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Definisi Kongruensi Dan Sifatnya

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Definisi Kongruensi dan Sifatnya, Tanpa panjang lebar lagi yo banking venture agree it out !

Definisi Kongruensi

Misalkan a, b, dan m bilangan bulat dengan m > 0. Bilangan bulat a disebut kongruen dengan b modulo m jika m│(a - b) dan ditulis :
a ≡ b (mod m)

Contoh :

Jika a bilangan di himpunan (2, 7, 12, ...) ∪ (-3, -8, -13, ....) maka a ≡ ii (mod 5).

Sifat 1:

Jika a ≡ b (mod m), maka untuk setiap bilangan bulat p berlaku :
  1. a + b ≡ b + p (mod m)
  2. ap ≡ bp (mod m)
Jadi, kedua ruas suatu kongruens dapat ditambah dengan bilangan yang sama. Demikian pula dengan perkalian , asalkan p ≢ 0 (mod m).

Sifat ii :

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka :
  1. a + b ≡ b + d (mod m)
  2. ac ≡ bd (mod m)
Sifat ini mengatakan bahwa dua kongruensi yang sama, masing-masing ruas, dapat dijumlahkan maupun dikalikan seperti halnya pada persamaan. tetapi untuk pembagian ada syarat untuk melakukannya. Syarat ini seperti halnya pada pembagian dengan persamaan, yaitu tak sama dengan nol. Perhatikan jika c merupakan faktor dari m, maka dapat dicari bilangan lain d sehingga cd ≡ 0 (mod m).

Sifat three :

Jika a, b, c dan m bilangan yang memenuhi ca ≡ cb (mod m) dan PBT (c, m) = 1, maka a ≡ b (mod m).

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Saya sarankan juga untuk baca artikel di bawah ini :
akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)
Subscribe to: Posts (Atom)