Arti Kalkulus

Kalkulus berkenaan dengan analisa matematis mengenai perubahan atau gerakan. Oleh karena hampir semua yang ada di dunia ini mengalami perubahan, maka kalkulus digunakan dalam berbagai penyelidikan ilmiah. Sebagai suatu dasar analisis matematis, tidak mungkin kita mengabaikan pentingnya kalkulus khususnya deferensial kalkulus.

sir Issac newton dan gotfried leibnitz

Kalkulus dikembangkan oleh sir Issac newton dan gotfried leibnitz secara terpisah pada abad ke 17. Bagi newton, mula-mula kalkulus dikembangkan dalam usaha memecahkan persoalan tertentu yang berhubungan dengan pekerjaannya dalam ilmu alam (fisika) dan astronomi (ilmu perbintangan) antara lain di dalam menemukan percepatan suatu benda yang bergerak, hasil suatu gaya, pusat massa suatu benda, sedangkan bagi leibnitz, mula-mula kalkulus dikembangkan dalam usaha memecahkan persoalan tertentu dalam geometri antara lain menemukan tangen suatu kurve, panjang dari bagian suatu kurve, panjang dari bagian suatu kurve, luas daerah yang dibatasi oleh kurve, book suatu benda padat.

Dasar dari operasi kalkulus ialah diferensiasi dan integrasi, operasi ini merupakan kebalikan (inverse) satu sama lain, seperti halnya penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Diferensiasi berkenaan dengan penentuan tingkat perubahan (rate of change) dan suatu fungsi, sedangkan integrasi sebaliknya untuk menentukan suatu fungsi kalau tingkat perubahannya diketahui.

Analogi suatu cinema dari objek yang bergerak seringkali dipergunakan untuk membahas proses diferensiasi dan integrasi. Suatu cinema tentang objek yang bergerak merupakan suatu urutan atau seri dari suatu gambar yang statis, setiap gambar akan berbeda sedikit dengan lainnya, setiap kerangka (frame) melukiskan subjek di dalam posisi tertentu pada saat waktu tertentu. Ketika cinema diputar dengan menggunakan proyektor pada kecepatan yang tepat, gambar akan digabungkan dan ilusi suatu gerakan tercipta. Seperti halnya dengan suatu cinema dengan gambar yang bergerak, pada dasarnya diferensiasi memecah atau menguraikan suatu fungsi menjadi bagian-bagian atau potongan-potongan yang sangat kecil dan menganalisanya pada suatu waktu tertentu atau untuk suatu nilai tertentu variabel bebas; integrasi sebaiknya menggabungkan atau menjumlahkan potongan-potongan yang sangat kecil itu untuk memperoleh suatu fungsi. Secara ringkas dapat dikatakan diferensiasi suatu usaha memecah atau mengurai, sedangkan integrasi suatu usaha menggabungkan atau menjumlahkan. 

Apabila hubungan antara variabel dinyatakan dalam suatu persamaan, kalkulus dapat dipergunakan untuk menganalisa hubungan-hubungan ini. Kalkulus telah dipergunakan oleh ahli fisika (Ilmu alam), ahli astronomi (ahli perbintangan), ahli kimia, dan kerekayasaan sejak dikembangkannya dan akhirnya juga dipergunakan oleh para ahli biologi, sosiologim psikologi, dan ekonomi.

Oleh karena itu analisi dalam bisnis dan ekonomi seringkali berkenaan dengan perubahan, maka jelas bahwa kalkulus merupakan alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan persoalan-persoalan yang menyangkut perubahan, khususnya mengenai pertumbuhan.

Analisa marjinal, merupakan penerapan kalkulus yang paling langsung di dalam bisnis dan ekonomi antara lain rata-rata tingkat perubahan marjinal pada marjin dinyatakan secara analitis sebagai turunan pertama (firsderivative) dari fungsi yang bersangkutan. Marjin (= Margin) artinya batas atau tepi atau pinggiran. Profit marjin artinya keuntungan yang sangat tipis. 

Diferensial kalkulus juga merupakan metode untuk manentukan maximum atau minimum suatu fungsi diperoleh. Jadi dengan demikian persoalan untuk memaksimumkan keuntungan (maximum profit) atau meminimumkan biaya (minimum cost) berdasarkan berbagai asumsi dapat dipecahkan dengan menggunakan kalkulus. Programma matematis yang berkenaan dengan memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi dalam keadaan pembatasan (kendala) penggunaannya sangat meningkat di dalam bisnis dan ekonomi; metode yang dipergunakan di dalam programma matematis didasarkan atas deferensial kalkulus. 

Hubungan fungsional yang paling sederhana antara dua variabel x dan y ialah hubungan yang diwakili oleh suatu garis lurus dan berhubungan dengan suatu tingkat perubahan pada variabel tak bebas y karena adanya perubahan variabel bebas x, yang konstan atau seragam dalam variabel tak bebas y karena adanya perubahan variabel bebas x diwakili oleh suatu fungsi yang bukan linier (non linear or curvilinier)

Rata-rata tingkat perubahan variabel adalah nilai rata-rata meliputi suatu interval nilai tingkat perubahan variabel. Kebanyakan analisa bisnis dan ekonomi konsep yang paling penting adalah tingkat perubahan seketika/sesaat. Yaitu tingkat perubahan variabel pada suatu saat tertentu atau untuk nilai tertentu dari variabel bebas. Tingkat perubahan seketika diperoleh dengan melakukan diferensial dan merupakan turunan pertama dari suatu fungsi yang dinilai pada suatu titik tertentu. Konsep tingkat perubahan seketika merupakan dasar analisis marjinal dalam ekonomi. Seperti kita ketahui analisa marjinal berkanaan dengan pengaruh pada variabel tak bebas y akibat dari perubahan yang kecil terjadi pada variabel bebas x yang diketahui berhubungan dengan y.

Definisi matematis dan derivasi mengenai tingkat perubahan seketika atau sering disebut tingkat perubahan marjinal, konsep ini akan mudah dimengerti secara intuitif dengan menggunakan contoh gerakan fisik. Kalau sebuah mobil menempuh suatu jarak dari kota H5N1 ke kota B dengan kecepatan yang tetap kemudian tingkat perubahan dalam jaraknya dari kota H5N1 ke B. Jika konstan dengan memperhatikan perubahan yang terjadi dalam waktu sejak meningkalkan kota A; mobil tersebut menempuh jarak dari H5N1 ke B pada tingkat perubahan yang konstan atau seragam. Akan tetapi di dalam prakteknya tidak mungkin sebuah mobil menempuh suatu jarak dengan kecepatan yang sama secara terus menerus sebab ada tikungan, tanjakan, lampu lalu lintas, kemacetan dan alasan lainnya yang menyebakan kadang-kadang mobil bisa cepat dan kadang-kadang mobil harus pelan, maka tingkat perubahannya jelas bukan konstan akan tetapi variabel.

Misalnya perjalanan dari kota H5N1 ke kota B memakan waktu v jam, untuk memperoleh rata-rata tingkat perjalanan variabel perjam, banyaknya jarak yang ditempuh dalam km per jam dirata-ratakan. Hal ini di sebabkan karena dari jam ke jam kecepatan mobil tidaklah sama, kadang-kadang cepat dan kadang-kadang lambat, jadi diperoleh v angka yang berbeda, menunjukan jarak yang ditempuh setiap jam, lima angka ini dijumlahkan kemudian dibagi lima. Jelas ada tingkat perjalan lainnya yang menjadi kepentingan baik oleh polisi lalulintas maupun soper kendaraan tersebut, yaitu tingkat perjalanan seketika atau pada saat waktu tertentu.

Walaupun tingkat perubahan mungkin mudah dimengerti apabila dikaitkan dengan gerakan fisik, hal ini dapat digenralisir bagi setiap jenis hubungan fungsional. Sebagai contoh misalnya, jumlah biaya merupakan fungsi dari jumlah barang yang diprodusir dan biasanya berubah pada suatu tingkat variabel ketika jumlah produk berubah. Tingkat perubahan jumlah biaya yang terjadi disebabkan karena perubahan jumlah peroduk yang diprodusir disebut biaya marginal dan merupakan turunan pertama dari fungsi jumlah biaya. Biaya marjinal merupakan fungsi dari jumlah produk yang diprodusir dan bisa dihitung pada setiap jumlah produk pada setiap saat tertentu.

Turunan pertama yang merupakan tingkat perubahan suatu fungsi, dapat digunakan untuk menentukan titik maksimum dan minimum kalau ada. Suatu fungsi meningkat sampai mencapai suatu maximum kemudian menurun sampai mencapai suatu minimum kemudian menaik lagi. Metode dasar ini untuk menentukan maksimal dan minimal suatu fungsi dengan diferensiasi talah dikembangkan dan dibuat generalisasi untuk digunakan di dalam persoalan dengan berbagai kompeksitas dan merupakan dasar dari pada metode programma matematis.

Kalkulus berkenaan dengan perubahan yang sangat kecil terjadi pada variabel bebas x dan tak bebas y. Secara matematis, perubahan semacam itu didefinisikan dengan menggunakan konsep restrain dan kontinyuitas yang merupakan dasar dari pada teori kalkulus.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Referensi :

• Buku matematika ekonomi dan bisnis (J. Supranto)

Definisi Restrain Dan Notasinya

Perhatikan suatu fungsi f(x) dan misalkan suatu variabel bebas x mengambil nilai dekat sekali dengan bilangan konstan a, maka f(x) akan mempunyai suatu himpunan nilai sesuai dengan nilai-nilai yang diambil oleh variabel x tadi.

Misalnya ktika x dekat dengan a, nilai fungsi f(x) yang berhubungan dengan nilai tersebut makin mendekati A, suatu bilanan konstan. Selanjutnya kita misalkan bahwa nilai-nilai f(x) dapat dibuat menjadi begitu dekat dengan Influenza A virus subtype H5N1 sehingga jarak atau selisihnya kecil sekali dengan jalan mengambil nilai-nilai x yang juga sangat dekat dengan a akan tetapi tidak sama dengan a tersebut dan ini benar untuk semua nilai x. Kemudian f(x) dikatakan mendekati limi Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a. Lebih tepatnya, definisi mengenai liit suatu variabel dan bound suatu fungsi adalah sebagai berikut :

Suatu variabel x dikatakan mendekati konstan a sebagai bound ketika x berubah sedemikan rupa sehingga perbedaan mutlax I x – a I menjadi dan tetap lebih kecil dari setiap bilangan positif yang telah ditentukan sebelumnya betapapun kecilnya bilangan ini dipilih. Hal ini ditunjukan dengan notasi :

Limit x = atau x → a

Contoh :

Kalau x mengambil urutan nilai-nilai :

½, 3/3, 7/8, .... , (2ⁿ – i )2ⁿ

Maka dikatakan x → 1, artinya satu merupakan bound dari x. Akan tetapi kalu x mengambil urutan nilai-nilai :

½, -3/4, 7/8, -15/16, .... , (-1)^n-1 ((2ⁿ – 1)/2ⁿ),...

Maka x tak akan mencapai suatu bound kalau fungsi f(x) mendekati suatu bilangan konstan A, ketika x mendekati , akan tetapi tidak pernah mengambil nilai a. Influenza A virus subtype H5N1 dikatakan merupakan bound (batas) f(x) ketika x mendekati A.

lim _{x → a} f(x) = Influenza A virus subtype H5N1 atau f(x) → a ketika x → a

Contoh :

Kalau f(x) = 2x + 5, lim _{x → a} f(x) = 5, sebab kalau x semakin kecil sehingga mendekati 0, nilai f(x) mendekati five seperti ilustrasi berikut ini :

f(1) = 7

f(1/2) = 6

f(1/4) = five ½

f(1/100) = five 1/50

f(1/1000) = five 1/500

dan sebagai nya...

atau :

f(-1) = 3

f(-1/2) = 4

f(-1/4) = iv ½

f(-1/100) = five 49/50

f(-1/1000) = iv 499/500

dan sebagainya ....

Dua pernyataan berikut mengenai definisi bound suatu fungsi sama dengan definisi di atas yaitu :

Suatu fungsi f(x) dikatakan mendekati suatu bound Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a, apabila selisih atau perbedaan mutlak antara f(x) dan Influenza A virus subtype H5N1 lebih kecil dari suatu bilangan positif yang sangat kecil untuk setiap nilai x yang sangat dekat dengan a dan untuk mana x ≠ a (ingat x → a berarti x ≠ a)

Suatu fungsi f(x) mendekati suatu bound Influenza A virus subtype H5N1 ketika x mendekati a, jika dan hanya jika, untuk setiap ϵ > 0 terdapat suatu nilai δ sedemikian rupa sehingga ketika 0 < I x – a I < δ maka :

І f(x) – Influenza A virus subtype H5N1 І < ϵ, di mana :

δ = delta

ϵ = epsilon

Dari uraian di atas mengenai pengertian limit, dapat di artikan bahwa kedua x dan f(x) mendekati suatu bilangan konstan yang terbatas (finite constant), masing-masing a dan Influenza A virus subtype H5N1 sebagai bound atau batas. Bisa juga terjadi salah satu atau keduanya menjadi sangat besar atau sangat kecil secara seimbang.

Perhatikan definis berikut :

Apabila perbedaan antara suatu fungsi f(x) dan suatu konstan Influenza A virus subtype H5N1 menjadi semakin kecil secara mutlah (ablsolut); untuk semua nilai positif dari x yang cukup besar, maka kemudian f(x) dikatakan mendekati Influenza A virus subtype H5N1 sebagai suatu bound ketika x menjadi tak terhingga secara positif, yaitu meningkat terus tanpa batas. Hal ini bisa ditunjukan dengan notasi berikut :

Lim _{x → ∞} f(x) = Influenza A virus subtype H5N1 atau f(x) → Influenza A virus subtype H5N1 ketika x → ∞

Contoh :

Jika f(x) = i – (1/x), kemudian lim _{x → ∞}f(x) = 1, sebab :

f(1) = 0

f(5) = 4/5

f(20) = 19/20

f(100) = 99/100

f(1000) = 999/1000

f(10.000) = 9999/9.000

dan seterusnya...

Demikian juga halnya, bound f(x) mungkin didefinisikan ketika x menuju kenilai tak terbatas negatif, yaitu menurun tanpa batas. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :

Lim _{x → -∞} f(x) = A’ atau f(x) → A’ ketika _{x → -∞}

Contoh :

Jika f(x) = i – (1/x), kemudian Lim _{x → -∞} f(x) = 1

Jika suatu fungsi f(x) lebih besar dari suatu bilangan positif yang besar sembarang untuk semua nilai x yang sangat dekat dengan suatu bilangan konstan a dan untuk mana x ≠ a, kemudian f(x) dikatakan menjad positif tak terbatas yaitu meningkat tanpa batas ketika x mendekati a. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :

lim _{x → a} f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → a

Demikian juga halnya, bound f(x) mungkin didefinisikan ketika x menuju ke nilai tak terbatas negatif, yaitu menurun tanpa batas. Hal ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :

lim _{x → a} f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → a

Contoh :

Jika f(x) = 1/(x – 1)2, kemudian lim x → ii f(x) ∞

Jika suatu fungsi f(x) lebih besar dari pada suatu bilangan positif yang sangat besar sembarang (arbitraly large) untuk semua nilai x yang cukup besar, maka kemudian f(x) dikatakan menjadi positif tak terbatas, artinya meningkat tanpa batas ketika x menjadi positif tak terbatas yaitu meningkat tanpa batas.

Hal ini dapat ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :

lim _{x → ∞} f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → ∞

kasus-kasus dengan notasi sebagai berikut, didefiniskan sama :

lim _{x → ∞} f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → ∞

lim _{x → -∞} f(x) = ∞ atau f(x) → ∞ ketika x → -∞

lim _{x → -∞} f(x) = -∞ atau f(x) → -∞ ketika x → -∞

Contoh :

Jika f(x) = x4 – 4, kemudian lim _{x → ∞} f(x) = ∞ dan lim _{x → -∞} f(x) = -∞

Di dalam beberapa kasus, suatu fungsi mungkin mendekati salah satu dan dua bound yang berbeda, tergantung pada kenyataan apakah variabel mendekati limitnya melalui nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari pada limit, dalam hal semacam itu, bound tidak terdefinisi (tak ada) akan tetapi bound sebelah kiri atau kanan ada.

Limit sebelah kanan (right manus limit)

Suatu fungsi merupakan nilai yang didekati fungsi, ketika variabel mendekati limitnya melalui nilai yang menurun, dari pada sebelah kanan; tipe kelakuan/tingkah laku dari bound ini ditunjukan dengan notasi sebagai berikut :

lim _{x → a⁺} f(x) = A⁺ atau f(x) → A⁺ ketika x → A⁺

Limit sebelah kiri (left manus limit)

Suatu fungsi mendekati nilai yang didekati fungsi, ketika variabel mendekati limitnya melalui nilai meningkat dari sebelah kiri; ini ditunjukan oleh notasi berikut ini :

lim _{x → a^- f}(x) = A^- atau f(x) → A^- ketika x → A^-

Jadi bound suatu fungsi ada jika dan hanya jika bound sebelah kiri dan kanannya ada dan sama nilainya; dalam hal ini maka :

lim _{x → a⁺} f(x) = lim _{x → a^-} f(x) = lim _{x → a} f(x)

Contoh :

Jika f(t) = [t] = bilangan bulat terbesar dalam t, kemdian

lim _{t → 3⁺} f(t) = iii dan lim _{t → 3^-1} f(t) = 3-1

Jadi lim _{x → 3} f(x) tak terdefinisi (tidak ada)

Kelihatannya mungkin bahwa bound dari fungsi f(t) ketika t → iii harus 3. Akan tetapi, ketika t secara sembarang mendekati 3, beberapa nilai [t] adalah 2, jika t < 3, jika t > 3. Jadi nilai-nilai t tidak mendekati salah satu nilia Influenza A virus subtype H5N1 ketika t secara sembarang mendekati iii dan lim t → iii [t] tidak ada, walaupun bound sebelah kiri dan kanan sama, akan tetapi tak sama besarnya. Hal ini ditunjukan pada gambar IV.I. dengan garis horizontal yang tidak terputus-putus antara bilangan bulat t yang berurutan.

Fungsi f(t) mendekati ii ketika x mendekati iii dari sebelah kiri dan mendekati iii ketika x mendekati iii dari sebelah kanan. Yang jelas tak ada yang unik tentang angka 3; kenyataanya f(t) tak mempunyai bound (walaupun mempunyai bound sebelah kiri dan kanan) ketika t mendekati setiap bilangan bulat; akan tetapi f(t) mempunyai bound ketika t mendekati nilai yang tidak bulat.

Gambar IV.I. Kurve fungsi f(t) = t

Contoh :

Jika f(t) = 1/t, kemudian

lim _{t →0⁺} f(t) = ∞ dan lim _{t →0^-} f(t) = -∞(Lihat gambar IV.2)

Gambar IV.2 Kurve fungsi f(t) = 1/t

Jika lim f(t) tak terdefinisikan; ketika t mendekati 0 dari atas, f(t) menjadi tak terhingga secara positif, ketika t mendekati 0 dari bawah f(t) menjadi tak terhingga secara negatif.

Bisa juga terjadi perubahan bound sebelah kiri dan kanan tak ada, sebagai contoh, fungsi sinus dan cosinus yang sifatnya selalu bergoyang (oscillatory inwards nature).

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualiakum wr. wb.

Referensi :

• Buku matematika ekonomi dan bisnis (J. Supranto)

Manfaat Kalkulus Dalam Dunia Nyata

Salah satu cabang matematika terdepan adalah kalkulus. Studi formal kalkulus dimulai dari abad ke-17 oleh para ilmuwan dan matematikawan terkenal seperti Isaac Newton dan Gottfried Leibniz, walaupun mungkin saja itu telah digunakan sejak zaman Yunani. Ini adalah disiplin matematika yang terutama berkaitan dengan fungsi, batasan, derivatif, dan integral hanya untuk beberapa nama. Disiplin ini memiliki warisan yang unik sepanjang sejarah matematika. Meskipun terbagi antara ii definisi Newton dan Leibniz, namun masih mampu menciptakan sistem matematika baru dan digunakan dalam berbagai aplikasi.

Meskipun rumit untuk digunakan dengan baik, kalkulus memang memiliki banyak kegunaan praktis penggunaan yang mungkin tidak akan Anda pahami pada awalnya. Penggunaan kalkulus praktis yang paling umum adalah saat merencanakan grafik formula atau fungsi tertentu. Dengan menggunakan metode seperti derivatif pertama dan turunan kedua, grafik dan dimensinya dapat diperkirakan secara akurat. ii derivatif ini digunakan untuk memprediksi bagaimana suatu grafik terlihat, arah pengambilannya pada titik tertentu, bentuk grafik pada titik tertentu (jika cekung atau cembung), hanya untuk beberapa nama saja.

Kapan kita menggunakan kalkulus dalam dunia nyata ? 
Sebenarnya, kita bisa menggunakan kalkulus dengan banyak cara dan aplikasi. Di antaranya disiplin ilmu yang memanfaatkan kalkulus meliputi fisika, kimia, biologi, ekonomi dan lain sebagainya. Hal ini digunakan untuk membuat model matematis agar bisa sampai pada solusi optimal.

Sebagai contoh, dalam fisika, kalkulus digunakan dalam banyak konsepnya. Di antara konsep fisik yang menggunakan konsep kalkulus meliputi gerak, listrik, panas, cahaya, harmonisa, akustik, astronomi, dan dinamika. Bahkan, bahkan konsep fisika lanjutan termasuk elektromagnetisme dan teori relativitas Einstein menggunakan kalkulus.

Di bidang kimia, kalkulus dapat digunakan untuk memprediksi fungsi seperti laju reaksi dan peluruhan radioaktif.

Dalam biologi, digunakan untuk merumuskan tarif seperti tingkat kelahiran dan kematian.

Di bidang ekonomi, kalkulus digunakan untuk menghitung biaya marjinal dan pendapatan marjinal, yang memungkinkan para ekonom untuk memperkirakan keuntungan maksimum dalam setting tertentu.

Seperti yang bisa Anda lihat, kalkulus memiliki peran besar di dunia nyata. Bagi sebagian besar profesi, belajar itu adalah kunci kesuksesan. Jadi, ini sebabnya Anda tidak boleh mengabaikan kalkulus sebagai gangguan dalam belajar.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah salah kata. Akhir kata wassalamualaikum wr. Wb.

Referensi :

• www.teach-nology.com

Rumus Teoreme Dasar Kalkulus

Mengapa dalam matematika banyak teorema ?

Teorema adalah senjata untuk melawan musuh-musuh, yang artinya musuh tersebut dalam matematika adalah soal. Bisa soal yang dibuat secara rekayasa ataupun bisa juga soal atau masalah yang terjadi secara spontan atau nyata. Jadi intinya teorema itu dibuat untuk memecahkan masalah-masalah yang dihadapi.

Rumus teorema dasar kalkulus :

Jika f kontiniu dan mempunyai anti-turunan F pada (a,b), maka :

^b∫_a f(x)dx = f(b) - F(a)

Catatan :

• Teorema ini mengaitkan integral tak tentu dengan integral tentu.
• Notasi F(x)|^a_b bisa digunakan untuk menyatakan F(b) - F(a).

Bukti Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan f kontinu dan mempunyai anti-turunan F pada [a,b]. Maka, f terintegrasikan pada [a,b], dan untuk setiap partisi a = x₀ < x₁ < x₂ < .... < x_n-1 < x_n = b kita mempunyai :

F(b) - (a) = ⁿΣ_i=1 [F(x_i) - F(x_i-1)]

F(b) - (a) = ⁿΣ_i=1 f(t_i)∆x_i

Karena itu ^b∫_a f(x)dx = lim_|p|→0 ⁿΣ_i=1 f(t_i)∆x_i = F(b) - F(a)

Contoh :

Untuk r ≠ -1, fungsi f(x) = x^r kontinu dan mempunyai anti-turunan F(x) = x^r+1 pada [a,b]; jadi :
^b∫_a x^rdx = x^r+1/r+1|^a_b = (b^r+1/r+1) - (a^r+1/r+1)

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Referensi :

• chanel youtube Institute Teknologi Bandung

Konsep Dasar Kalkulus Diferensial

Good black ! Assalamualaikum !!

Kali ini saya akan menjelaskan tentang diferensial. Diferensial adalah bagian dari kalkulus.

Sebelum kita mempelajari tentang difirensial. Tentunya kita harus mengetahui bagaimana sebenarnya konsep dasar dari deferensial itu sendiri.

Kita ambil contoh waktu, misalkan dalam satu jam itu ada sixty menit, dalam sehari itu ada 24 jam, dan dalam satu minggu ada vii hari, jadi dalam sehari ada 1440 menit.

Sekarang bayangkan jika kita melihat sekup menit di dalam hari itu kecil sekali, jadi satu menit dalam satu hari itu adalah 1/1440. Apalagi jika kita bayangkan dalam satu minggu, dalam seminggu itu ada 10080 menit, yang artinya satu menit dalam satu minggu itu adalah 1/10080 sangat kecil sekali perbandingannya. Karena derajat menit dalam hari atau dalam minggu itu kecil maka bisa kita abaikan saja atau kita sepelekan saja mungkin kasarnya.

Atau bisa kita bayangkan dalam uang, seandainya kita punya uang i miliar kemudian kita bandingkan dengan uang Rp. 100,00 itu akan sangat kecil pembandingnya, seakan-akan kasarnya ada atau tidak adanya uang Rp. 100,00 ngga terlalu berpengaruh dalam uang dengan nilai i milar.

Notasi :

dx, dy, du.

di dalam bahasa matematika d diatas adalah elemen. jadi untuk membanya notasi :

dx dibaca "elemen dari x"

dy dibaca "elemen dari y"

du dibaca "elemen dari u"

Lalu apa arti dari elemen itu sendiri ??

elemen (d) bisa juga kita artikan sebagai bagian kecil, jadi :

dx dibaca "bagian kecil dari x"

dy dibaca "bagian kecil dari y"

du dibaca "bagian kecil dari u"

Contoh :

dx yang x nya sebagai minggu, jadi bagian kecil dari minggu itu bisa menit, detit, dan-lain-lain

dx yang x nya sebagai miliar, jadi bagian kecil dari miliar itu bisa jadi puluhan, atau bisa jadi satuan.

Fungsi deferensial :

Kalkulus itu adalah membahas tentang pertumbuhn menurut sir panus dalam bukunya math is esay.

Misalkan pada gambar diatas ada dua buah gambar bujur sangkar yang salah satu dari bujur sangkar tersebut merupakan hasil pertumbuhan dari bujur sangkar yang satunya. Lalu pertanyaannya adalah berapakah luas daerah berwarna abu-abu pada gambar di atas ???

Dengan diferensial kita dapat menghitung berapa luas daerah yang berwarna abu-abu.

Misalkan x = 100, maka :

luas bujur sangkar sebelah kiri adalah :

y = x²

y = 100²

y = 10.000

Luas bujur sangkar sebelah kanan :

y + dy = (100 + 1)²

y + dy = 10.201

Maka luas yang berwarna abu-abu adalah :

10.201 - 10.000 = 201

Maka kita proses dalam rumus menjadi :

bujur sangkar kiri y = x²

bujur sangkar kanan y + dy = (x + dx)²

bujur sangkar kanan y + dy = x² + 2x.dx + dx²

bujur sangkar kanan y + dy = x² + 2x.dx + dx² karena dx² derejatnya kecil maka dicoret saja.

bujur sangkar kanan y + dy = x² + 2x.dx , karena y = x²maka :

bujur sangkar kanan x² + dy = x² + 2x.dx

bujur sangkar kanan x² + dy = x² + 2x.dx

bujur sangkar kanan dy = 2x . dx

bujur sangkar kanan dy/dx = 2x

Jadi turunan dari y = x² adalah 2x.

Kemudian kita uji, x = 100, maka :

dy/dx = 2x

dy/dx = 2(100)

dy/dx = 200

Jadi luas daerah yang berwarna abu-abu adalah 200. Lalu mengapa jawabannya beda antara dihitung langsung dengan di hitung menggunakan turunan, jika langsung hasilnya adalah 201 dan jika menggunakan turunan adalah 200 ?

Jawabannya sederhana, di awal sudah saya jelaskan bahwa konsep sepele menyepelakan, karena i tidak terlalu penting dalam 10.201. 

Nah kita sudah menemukan bahwa (dy/dx)(x²) = 2x lalu bagaimana jika (dy/dx) (x³) = .. ?

Disaat y = x³, maka y + dy = (x + dx)³

y + dy = (x + dx)³

y + dy = x³ + 3x² . dx +3x . dx²  +dx³ , kita coret 3x . dx² dan dx³ karena derajatnya kecil.

y + dy = x³ + 3x² . dx +3x . dx² + dx³

y + dy = x³ + 3x² . dxt karena y = x³ maka :

x³ + dy = x³ + 3x² . dx

x³ + dy = x³ + 3x² . dx

x³ + dy = x³ + 3x² . dx

dy = 3x² . dx

dy/dx = 3x²

Maka mendapat pola :

x² = 2x

x³ = 3x²

x⁴ = 4x³

x⁵ = 5x⁴

dan seterusnya...

Maka rumus dari kalkulus deferensial adalah :

(d/dx) (xⁿ) = nx^n-1

Jadi disaat xⁿ maka turunannya adalah nx^n-1

Sekian artikel kali ini. mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Referensi :

• Chanel youtube (ooxyz karon)

Cara Cepat Mengerjakan Soal Kalkulus Integral Tanpa Substitusi

Assalamualiakum semuanya ??

Kali ini saya akan menjelaskan bagaimana cara mengerjakan soal kalkulus integral tanpa substitusi. Berikut ini contoh soalnya :

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = ...???

Harusnya soal di atas di kerjakan dengan substitusi karena memiki ii fungsi yaitu :

f(x) = 2x

f(x) = (x² + 3)⁵

Seharusnya soal di atas dikerjakan dengan substitusi, namun kali ini saya akan jelaskan mengenai cara cepatnya. Maka kita coba langsung parktekan.

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁵ karena integral itu menambahkan satu pada pangkat, maka :

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)^{5 + 1}

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁶ kemudian pangkat yang telah dijumlah kan dengan i menjadi pembagi dari integral tersebut, maka :

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁶/6, kemudian x² + 3 kita turunkan ke pembagi menjadi turunanannya, maka:

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁶/(6 (2x + 0))

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁶/(6 . 2x )

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = 2x (x² + 3)⁶/(6 . 2x )

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = (x² + 3)⁶/6

∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = (1/6) (x² + 3)⁶ + c

Jadi hasil dari ∫ 2x (x² + 3)⁵ dx = ...??? adalah (1/6) (x² + 3)⁶ + c

Bila temen-teman tidak percaya dengan jawaban ini, bisa teman-teman buktikan sendiri dengan cara substitusi, kalo hasilnya tidak sama, teman-teman boleh koreksi dengan berkomentar pada kotak komentar artikel ini.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualalikum wr. wb.

Referensi :

• Chanel youtube Gulam Halim

3 Rumus Dasar Integral Aljabar

Assalamualaikum !! Good morn !!

Mengapa Materi integral muncul dalam dunia pendidikan.... ??

Apa kegunaan dari integral... ?????

Manfaat Integral

Konsep integral ditemukan oleh para ilmuan baik itu newton atau leibniz karena untuk menjawab persoalan yang terkait dengan luas daerah dan volume.

Contoh luas daerah, jika kita memiliki tanah dalam bentuk persegi panjang yang sangat luas mungkin akan sangat mudah untuk menghitungnya yaitu dengan menggunakan rumus p x l, atau jika tanah tersebut berbentuk lingkaran maka untuk menghitungnya kita tinggal menggunakan rumus πr², namun jika bentuk tanah tidak beraturan atau bentuk tanah tidak jelas seperti gambar diatas, maka dapat diselesaikan dengan integral. Jadi integral digunakan untuk menghitung luas bentuk-bentuk yang tidak tentu.

Untuk lebih jauhnya lagi integral dapat digunakan dalam berbagai bidang, misalnya bagaimana menghitung panjang sebuah kurva. Perhatikan contoh gambar tihang listri diatas, untuk menghitung panjang kabel dari satu tihang ke tihang lain, bisa dihitung dengan menggunakan integral.

Lalu apa pentingnya menghitung panjang dari kabel listrik tersebut.. ?

Ya jelas penting karena untuk instalasi kabel listrik itu harus dikehatahui dahulu berapa panjang kabel yang hendak dipasangkan.

Selain beberapa kegunaan integral diatas, integral juga bisa diaplikasikan dalam menghitung book benda putar. Maka intinya integral itu sangat bermanfaat bagi kehidupan kita.

Integral Aljabar

Definisi :

"Integral Aljabar Adalah Anti Turunan"

Contoh :

f(x) = x² + xx ⇄ f'(x) = 2x
f(x) = x² - thirty ⇄ f'(x) = 2x

Nah proses dari kiri kenan itu adalah turunan dan proses dari kanan ke kiri adalah integral.

Notasi :

∫ 2x dx = x² + 20
∫ 2x dx = x² - 30

Apabila kita tulis dalam bentuk yang lebih umum maka :

∫ f'(x)dx = f(x) - C

Rumus di atas dinamakan dengan rumus integral tak tentu, karena konstantanya belum tentu.

Keterangan :

∫ = Symbol Integral
x = Variabel
dx = Turunan x
f(x) dx = Turunan Fungsi x
f'(x) dx = Anti turunan Fungsi x
C = Konstanta

Rumus Dasar Integral

Nah mari kita lanjut ke materi inti yaitu rumus dasar integral, rumus dasar integral ada three diantaranya adalah :

1. ∫ a dx = ax + c

Contoh :

∫ 10 dx = ... ?

Jawaban :

a = 10

∫ a dx = ax + c
∫ 10 dx = 10x + c

2. ∫ axⁿ dx = (a/(n+1))xⁿ⁺¹ + c, n ≠ -1

Contoh :

∫ x⁵ dx = ... ?

Jawaban :

a = 1

n = 5

∫ axⁿ dx = (a/(n+1))xⁿ⁺¹ + c
∫ x⁵ dx = (1/(5+1))x⁵⁺¹ + c
∫ x⁵ dx = (1/6) x⁶ + c

 3. ∫ x^-1 dx = ln |x| + C

Rumus ini digunakan untuk menyelesaikan soal integral dengan pangkat -1. Jika kita menemukan soal integral yang pangkatnya -1, maka kita gunakan logaritma natural "ln" dengan virabel menggunakan tanda mutlak.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.

Referensi :

• Chanel youtube bimbel harja