Home Posts filed under Search results for aturan-dasar-mengkalikan
Showing posts sorted by date for query aturan-dasar-mengkalikan. Sort by relevance Show all posts
Showing posts sorted by date for query aturan-dasar-mengkalikan. Sort by relevance Show all posts

Prinsip Injeksi Dan Bijeksi

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Prinsip Injeksi dan Bijeksi, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern lucifer it out !

Prinsip Injeksi dan Bijeksi

Pada Suatu pesta diketahui bahwa setiap pria datang harus dengan pasangannya, sedangkan wanita dapat datang sendiri. Kemudian, diketahui bahwa jumlah wanita yang datang adalah 100 orang. Tanpa harus menghitung lagi, kita tahu bahwa jumlah pria < 100. Tetapi, jika diketahui bahwa semua wanita juga datang dengan pasangannya, maka kita tahu bahwa jumlah pria dan wanita sama banyak. Ini adalah prinsip injeksi dan bijeksi.
Gambar 1
Kita akan menggunakan ini untuk situasi yang lebih umum.  Misalkan Influenza A virus subtype H5N1 dan B dua himpunan. Fungsi f : A→B disebut injektif atau satu - satu jika f(a1) = f(2) maka a1 = a2. Tulisan ini sama artinya dengan jika a1 tidak sama dengan a2 maka f(a1) tidak sama dengan f(a2), artinya setiap unsur di Influenza A virus subtype H5N1 dipetakan ke unsur berbeda di B.
Gambar 2
Pada gambar i memperlihatkan fungsi injektif sedangkan pada gambar two bukan merupakan fungsi injektif, Sebab ada :
f(a2) = f(a4) = b3
tetapi a2 tidak sama dengan a4.

Prinsip Injeksi

Misalkan Influenza A virus subtype H5N1 dan B dua himpunan berhingga dan ada fungsi f : Influenza A virus subtype H5N1 → B yang bersifat injektif maka n(A) < n(B).
Misalkan f : Influenza A virus subtype H5N1 → B fungsi injektif. Jika untuk setiap b adalah B ada unsur di Influenza A virus subtype H5N1 sehingga f(a) = b, maka f disebut fungsi bijektif. Pada gambar di atas, fungsi injektif di atas bukan merupakan fungsi bijektif sebab ada unsur di B yang tidak mempunyai kawan di A.
Gambar 3

Prinsip Bijeksi

Misalkan Influenza A virus subtype H5N1 dan B dua himpunan berhingga dan ada fungsi f : Influenza A virus subtype H5N1 → B yang bersifat bijektif, maka n(A) = n(B).
Dengan menggunakan fungsi injektif, kita dapat menyebutkan bahwa dua himpunan Influenza A virus subtype H5N1 dan B sama banyak. Caranya adalah sebagai berikut :
Jika ada fungsi injektif f : Influenza A virus subtype H5N1 → B dan g : B → A  , maka n(A) = n(B). Hal ini  muda dilihat. Karena ada fungsi injektif f, maka n(A) < n(B). Karena ada fungsi injektif g, maka n(B) < n(A). Dengan demikian n(A) = n(B).
Kita akan menggunakan prinsip di atas untuk menghitung hal berikut :
Gambar 4
Contoh :
Kita akan berjalan dari titik X ke titik Y melalui jalan yang tersedia (lihat gambar 4) Berapa banyak cara jalan terpendek yang dapat ditempuh ????
Jaawab :
Tulis Influenza A virus subtype H5N1 adalah himpunan semua jalan terpendek dari X ke Y. Jalan terpendek ini adalah jalan yang ke arah kanan atau ke atas (tidak ada jalan ke arah kiri atau ke bawah). Dengan demikian pada setiap titik sudut, kita mempunyai pilihan ke atas atau ke kanan. Jika jalan ke kanan kita tulis sebagai angka "1" dan jalan ke atas dengan angka "2", maka kita harus menentukan bilangan yang terdiri dari vii angka terdiri dari iv angka "1" dan iii angka "2", karena iv kali ke kanan dan iii kali ke atas. Pada gambar di atas, susunan angka yang sesuai adalah 1121212. Jika B adalah himpunan semua bilangan dalam hal ini kita cukup menghitung n(B), yaitu mengganti iii angka satu  (dengan angka dua) dari vii kemungkinan. Jadi :
Nah sekian artikel kali ini, mohon maaf apabila ada kesalaha

Aturan Dasar Menambah

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Aturan Dasar Menambah, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Aturan Dasar Menambah

Jika kita mempunyai dua himpunan yang tidak mempunyai unsur bersama, maka jumlah anggota dari dua himpunan ini adalah jumlah dari banyak anggota masing-masing himpunan.

Contoh :

Ada dua cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta, yaitu menggunakan pesawat terbang atau menggunakan kreta. Untuk pesawat terbang ada 4 penerbangan dan untuk kreta ada 3 kreta. Berapa banyak cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta ??

Jawab :
Karena cara bepergian dari DKI Jakarta ke Yogyakarta dengan udara dan darat merupakan dua hal yang terpisah, maka banyaknya cara tinggal dijumlahkan :
4 + three = 7.
Jadi banyak cara untuk pergi dari DKI Jakarta ke Yogyakarta ada 7cara.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku Olimpiade matematika ( Wono Setya Budha, Ph. D )

Aturan Dasar Mengkalikan

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Aturan Dasar Mengkalikan , Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment jibe it out !

Aturan Dasar Mengkalikan 

Misalkan ada suatu prosedur (urutan pengerjaan) yang dapat dilakukan dalam dua langkah yang saling lepas (tidak bergantung). Jika langkag pertama ada r1 cara dan langkah ke dua ada r2 cara, maka prosedur tersebut dapat dilakukan dengan r1r2 cara.

Contoh :

Misalkan kita pergi dari kota A ke C harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B ada 3 jalan, dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan. Kita akan menghitung banyak cara untuk pergi dari kota A ke C dan melalui B.
Jawab :
Setelah kita memilih jalan dari A ke B, pilihlah jalan dari B ke C tidak tergantung pada pilihan pertama. Dengan demikian menurut aturan perkalian, banyaknya cara dari kota A ke C melalui B adalah 3 . ii = 6. Jalan tersebut adalah :
a1, a2, b1, b2, c1, c2.

Dengan a1 mempunyai arti menggunakan jalan a (dari A ke B) dan jalan 1 (dari B ke C), dan c2 mempunyai arti menggunakan jalan c (dari A ke B) dan jalan 2 (dari B ke C), demikian seterusnya.

Secara sederhana, kita dapat menghitung contoh terakhir dengan cara berikut. Pertama, kita sediakan dua kotak (karena ada dua tahap). Kemudian kotak pertama diisi dengan banyaknya cara tahap pertama, dan kotak kedua diisi dengan banyaknya cara tahap kedua. Jumlah semua cara adalah hasil kali dari isi kotak yaitu :
3 x 2 = six cara

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Rumus Permutasi Siklis

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Rumus Permutasi Siklis, Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment friction match it out !

Permutasi Siklis

Misalkan kita mempunyai tiga orang a, b, dan c. Jika mereka duduk berjajar 3 orang, maka susunan duduk menjadi :
abc, acb, bca, bac, cab, cba

Tetapi sekarang mereka duduk mengelilingi meja bundar. Berapakah banyak semua kemungkinan susunan posisi duduk mereka.
Perhatikan bahwa dalam melingkar, posisi abc, cab, bca ( menggeser semua simbol secara bersama) hanya memberikan satu posisi. Demikian pula posisi acb, cba, bac juga memberikan satu posisi. Sehingga posisi tiga orang duduk melingkar hanya ada dua, yaitu posisi abc dan acb saja. Posisi duduk melingkar ini disebut Permutasi Siklis.

Rumus Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi (posisi) siklis dari n unsur adalah :

Psiklis (n) = n!/n = (n - 1)!

Contoh soal :

Diketahui ada 5 pemuda dan 3 pemudi duduk mengeliling meja bundar. Tentukan banyaknya kemungkinan susunan duduk mereka !!!

Jawab :
Banyaknya susunan untuk mereka duduk adalah :
Psiklis (8) = (8 - 1)!
Psiklis (8) = 7!
Psiklis (8) = seven x vi x v x four x iii x ii x 1
Psiklis (8) = 5.040

Jadi banyaknya susunan duduk mereka adalah 5.040 susunan.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Prinsip Inklusi Dan Eksklusi

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Prinsip Inklusi dan Eksklusi, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern agree it out !
Prinsip Inklusi Dan Eksklusi

Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Prinsip Inklusi dan eksklusi yang paling sederhana tampak pada saat kita mempelajari prinsip menambah kardinalitas dari dua himpunan. Jika diketahui dua himpunan A dan B, maka banyaknya anggota dari himpunan A ∪ B adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - ?

dengan n(A), n(B) masing-masing menyatakan banyaknya anggota di A dan B. Pada tahap ini kita memasukan semua anggota (inklusi) dan telah terjadi perhitungan dua kali pada anggota A ∩ B. Sekarang kita akan membuang hal ini (eksklusi) dengan mengurangi di ruas kanan. Rumus yang tepat untuk ini adalah :

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Sekarang untuk tiga himpunan A, B, C. Dengan cara yang sama, diperoleh :
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - ....

ada banyak anggota yang kita hitung dua kali, yaitu A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A. Oleh karena itu :
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + .....

Pada proses ini ada pengurangan sebanyak tiga kali untuk anggota di A ∩ B ∩ C. Secara keseluruhan, anggota di A ∩ B ∩ C telah dihitung tiga kali di n(A), n(B), n(C), kemudian diambil tiga kali, yaitu di n( A∩ B), n(B ∩ C), n(C ∩ A). Oleh karena itu perlu ditambah sekali. Jadi rumus yang tepat adalah :

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)
n(A ∪ B ∪ C) = -n(A ∩ B) - n(A ∩ B) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

Untuk kegunaan menghitung, seringkali kita perlu menghitung jumlah anggota komplemen dari suatu himpunan. Jika A suatu subhimpunan dari S, maka :

 A = {x ∈ southward | x ∉ Influenza A virus subtype H5N1 }

disebut komplemen A. Mudah diterima bahwa :
n(S) = n(A) + n(A) atau n(A) = n(S) - n(A)

Karena :
A ∪ B  = A ∩ B

Maka :
n(A ∩ B) = n(S) - n(A ∪ B)
n(A ∩ B) = n(S) - n(A) - n(B) + n(A ∩ B)

Contoh soal :

Carilah banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi 5, 6, dan 8!!

Jawab :
Kita tulis S = {1, 2, ...., 1000} dan
A1 = { x ∈ southward | x habis dibagi v }
A2 = { x ∈ southward | x habis dibagi half dozen }
A3 = { x ∈ southward | x habis dibagi 8 }

Kita ingin menghitung nilai n( A1 ∩ A2 ∩ A3).
Kita mengetahui Bahwa :
n(A1) = [1000/5] = 200
n(A2) = [1000/6] = 166
n(A3) = [1000/8] = 125

dengan [x] mempunyai arti sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x.
Sedangkan, A1 ∩ A2 terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 5 dan 6. Karena PBT (5, 6) = 1, maka A1 ∩ A2 terdiri dari semua bilangan yang habis dibagi 30 = KPK (5, 6) dan
n(A1 ∩ A2) = [1000/30] = 33

Sejalan dengan di atas :
n(A1 ∩ A3) = [1000/40] = 25
n(A2 ∩ A3) = [1000/24] = 41

Serupa dengan di atas, bahwa KPK (5, 6, 8)  = 120, maka :
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = [1000/120] = 8

Oleh karena itu :
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = n(S) - n(A1 ∪ A2 ∪ A3)
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = chiliad - 200 - 166 - 125 + 33 + 25 + 41 - 8
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 600

Jadi banyaknya bilangan antara 1 dan 1000, yang tidak habis dibagi oleh 5, 6, dan 8 adalah 600 bilangan.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Bilangan Kombinatorial

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Bilangan Kombinatorial, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern gibe it out !
Kombinatorial

Bilangan Kombinatorial

Bilangan Cnr dapat diartikan sebagai bilangan yang menyatakan banyaknya cara mengambil r unsur dari n unsur.

Proposisi :

Untuk setiap bilangan asli n dan r < n berlaku :

Cnr = Cn-1r-1 + Cn-1r

Bukti :

Kita dapat membuktikan ini dengan menggunakan definisinya, yaitu :

Cnr = n!/(r!(n - r))
Cnr = ((n - 1)!n)/(r!(n - r))
Cnr = (((n - 1)!(n - r))/(r!(n - r)!)) + (((n - 1)!r)/(r!(n - r)!))
Cnr = ((n - 1)!/(r!(n - r - 1)!)) + ((n - 1)!/((r - 1)!(n - r)!))
Cnr = Cn-1r + Cn-1r-1

Bukti lain dapat dilakukan dengan menggunakan kombinatorik. Jika diketahui n benda dinayatkan sebagai {1, 2, ...., n}, maka banyaknya cara mengambil r unsur adalah Cnr. Tetapi kita dapat menghitung ini dengan cara lain. Pada pengambilan r unsur ada dua kemungkinan yang terjadi, yaitu unsur 1 termasuk yang diambil dan tidak termasuk yang diambil.
Jika 1 termasuk yang diambil, maka kita tinggal mencari r - 1 unsur dari n - 1 benda. Dalam hal ini ada Cn-1r-1 cara.
Jika 1 tidak termasuk yang diambil, maka kita harus mencari r unsur dari n - 1 benda. Dalam hal ini ada Cn-1r cara. Jumlah keduanya harus sama .dengan Cnr.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.

Pembuktian Koefisien Binomial

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Pembuktian Koefisien Binomial, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Koefisien Binomial

Bukti Cnr muncul dalam uraian binomial, yaitu untuk n = 0, 1, 2, ..... berlaku :
(a + b)n = Cn0 an + Cn1 an-1 b + Cn2 an-2 b2 +... + Cnn-1 abn-1 + Cnn bn
(a + b)n = ∑nr = 0 Cnr an-r br

Bukti Pertama :

Dengan menggunakan induksi matematika :
Untuk n = 0
(a + b)0 = C00 a0 b0 = 1

Berasarkan definisi :
Asumsikan benar untuk n = k, yaitu :
(a + b)k = ∑kr = 0 Ckr ak-r br

Sekarang akan dibuktikan untuk n = k + 1. Kita mulai dari :
(a + b)k + 1 = (a + b)(a + b)k
(a + b)k + 1 = (a + b) ∑kr = 0 Ckr ak - r br
(a + b)k + 1 = ∑kr = 0 Ckr ak + i - r br + ∑kr = 0 Ckr ak - r br + 1
(a + b)k + 1 = Ck0 ak + 1 + Ck1 ak b + Ck2 ak-1 b2 +... + Ckk abk + Ck0 ak b + Ck1 ak-1 b2 + ... + Ckk-1 abk + Ckk bk+1

Dengan menjumlahkan suku sejenis maka diperoleh :
(a + b)k + 1 = Ck0 ak + 1 + (Ck1  + Ck0) ak b + (Ck2  + Ck1) ak-1 b2 + ..... + (Ckk  + Ckk-1) abk + Ckk bk+1

Berdasarkan kesamaan (1), maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai :
(a + b)k + 1 = Ck+10 ak + 1 + Ck+11 ak b + Ck+12 ak-1 b2 +....+ Ck+1k abk + Ck+1k+1 bk+1

Jadi telah terbukti untuk n = k + 1. Berdasarkan induksi matematika kita telah membuktikan yang diminta.

Bukti kedua :

Kita ingin menghitung bagian an -r br dari :
(a + b)n = {(a + b)(a + b)....(a + b)} sampai n unsur

artinya kita harus memilih r unsur b dari n unsur yang ada, dan memilih a dari sisanya.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Teorema Ramsey (Kombinatorik)

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Teorema Ramsey (Kombinatorik), Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Teorema Ramsey (Kombinatorik)

Salah satu pernyataan yang berkaitan dengan teorema ramsey adalah :

"Jika ada vi orang atau lebih, maka ada iii orang yang saling mengenal, atau ada iii orang yang tidak saling mengenal.

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan contoh di bawah ini :

Contoh :

Jika ada vi titik (atau lebih) dan masing-masing titik dihubungkan dengan garis yang diwarnai merah atau biru. Perlihatkan bahwa selalu ada iii titik yang saling dihubungkan garis dengan warna sama !!!

Jawaban :


Diantara AB, AC, AD, AE, AF lima garis ini selalu ada tiga yang berwarna sama. Misalkan AB, AC, AD semuanya berwarna merah.
Jika salah satu dari BC, CD, BD berwarna merah, misalkan CD merah, maka 3 titik A, C, D dihubungkan dengan garis-garis merah. Dalam hal lain (yaitu BC, CD, BD semuanya biru), maka ketiga titik B, C, D tiga titik yang dihubungkan oleh tiga garis biru.
Pertanyaannya kemudian, jika jumlah titik diganti dengan 5, apakah kesimpulan bahwa ada tiga titik yang berwarna sama tetap berlaku. Pada gambar diperlihatkan 5 titik dengan 10 garis yang menghubungkan tetapi tidak ada 3 titik yang dihubungkan dengan warna yang sama.
Pada kasus di atas, garis yang menghubungkan diberi warna dua macam yaitu merah atau biru. Sekarang, kita akan melihat jika garis diberi warna 3 macam.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Sayarankan juga untuk membaca artikel :
Referensi :
  • Buku Olimpiade Matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Rumus Rekursif

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Rumus Rekursif, Tanpa panjang lebar lagi yo depository fiscal establishment agree it out !

Rumus Rekursif

Rumus rekursif muncul di berbagai persoalan yang kita hadapi, sebagai contoh, pada barisan yang telah kita kenal yaitu aritmatika dan geometri.
Jika diketahui barisan aritmatika :
a, a + b,a + 2b, .....

dan un, menyatakan suku ke n dari barisan, maka :

Un+1 - Un = b atau Un+1 = Un +b

Rumus seperti ini disebut sebagai rumus rekursif, yaitu nilai dari suku ke n diperoleh dari suku sebelumnya.

Dengan mengganti n berturut-turut untuk 1, 2, 3, ..., n, diperoleh :
u2 = u1 + b
u3 = u2 + b
u4 = u3 + b
....
un-1 = un-2 + b
un = un-1 + b

Jumlah dari semua persamaan (perhatikan bahwa u2, u3, .... , un-1 di ruas kiri dan kanan saling menghapus), maka diperoleh :
un = u1 + b + b + ... + b (banyak b = n-1 )

Jadi, jawaban dari rumus rekrusif ini adalah :


un = u1 + (n - 1)b

dengan u1 adalah suku pertama barisan.
Para pembaca dapat mencoba memperlihatkan untuk barisan geometri. Jik un suku ke n barisan maka :
un = pun - 1

dengan r adalah pembanding. Dengan teknik serupa (penjumlahan diganti dengan perkalian), akan diperoleh jawaban dari rumus rekursif ini adalah :

un = u1 . pn-1

rumus rekursif dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah kombinatorik. Misalkan kita akan menghitung banyaknya cara suatu persegi panjang 1 x n untuk diberi ubin berukuran 1 x 1 dan /atau 1 x 2.

kita akan menghitung dengan cara berikut.

1. Jika n = 1, maka hanya ada satu cara.
Kita akan tulis a1 = 1

2. Jika n = 2, maka ada dua cara yaitu :
Kita akan tulis a2 = 2.

3. Jika n = 3, kita dapat menghitung dengan cara berikut :
(a) Pertama, jika bagian pertama kita isi dengan persegi panjang berukuran 1 x 1.
Dalam kasus ini banyaknya kemungkinan adalah a2 yaitu kita tinggal mencari kombinasi di persegi panjang 1 x 2.

(b) Kedua, jika kita isi dengan persegi panjang berukuran 1 x 2.

Karena kita harus mengisi persegi panjang berukuran 1 x 1, mak banyaknya kemungkinan dalam kasus ini ada a1.
Dengan demikian n = 3, kita jumlahkan dua kemungkinan :
a3 = a2 + a1

Karana (a) dan (b) tak mempunyai irisan.

4. Cara pengubinan untuk n = 3, dapat diperluas untuk n > 3.
(a) Pertama, jika bagian pertama kita isi dengan persegi panjang berukuran 1 x 1.
Kita harus mengisi lagi persegi panjang berukuran 1 x (n - 1). Oleh karena itu banyaknya kemungkinan adalah an-1.

(b) Kedua, bagian pertama kira isi dengan persegi panjang berukuran two x 2.
Kit harus mengisi lagi persegi panjang berukuran 1 x (n - 2). Oleh karena itu banyaknya kemungkinan adalah an-2.
Karena keduanya tak mempunyai irisan, maka untuk persegi panjang berukuran n ada cara sebanyak :
an = an-1 + an -2.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Akhir kata wassalamualaikum wr. wb.
Sayarankan juga untuk membaca artikel :
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono Setya Budhi Ph. D)

Prinsip Rumah Burung Kombinatorik

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung spider web log gue :). Slamat datang di spider web log paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin spider web log gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Prinsip Rumah Burung Kombinatorik, Tanpa panjang lebar lagi yo cheque it out !

Prinsip Rumah Burung Kombinatorik

Jika ada half dozen burung yang ditempatkan dalam five rumah, maka salah satu rumah pasti ditempati oleh lebih dari satu burung. Ini adalah prinsip sederhana yang disebut prinsip rumah burung. Dengan prinsip ini kita dapat menyimpulkan hal berikut :
  1. Dalam satu kelas terdiri dari 32 murid, maka ada murid yang ulang tahun dengan tanggal sama (tanpa memperhitungkan bulan).
  2. Diantara thirteen murid, selalu ada dua murid yang mempunyai bulah lahir yang sama.
  3. Di Djakarta ada sedikitnya dua orang yang mempunyai tinggi yang sama (dalam satuan cm)
Prinsip ini secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :

Jika ada barang dengan jumlah lebih dari n dan ditempatkan pada n kotak, maka ada satu kotak yang berisi lebih dari 1.

Contoh :

Misalkan a1, a2, ...., a10 sepuluh bilangan bulat. Perlihatkan bahwa ada bilangan bulat i, j dengan 1 < i, j < 10 sehingga ai + ai+1 + ....+ aj yang habis dibagi 10 !!!

Jawaban :

Buatlah bilangan baru :
b0 = 0, b1 = a1,  b2 = a1 + a2,  b10 = a1 + a2 + .... + a10

Kemudian bagilah setiap bi dengan 10, maka akan memberikan sisa si. Dari sisa ini, perhatikan bahwa kita mempunyai 11 bilangan yaitu s0, .... , s10, masing-masing bernilai salah satu dari 10 kemungkinan yaitu 0, 1, 2, .... , 9. Berdasarkan prinsip rumah burung, maka ada dua bilangan yang sama, misalkan sp  = sq dengan 0 < p < q < 10.

Jika p = 0, maka :
bq = a1 + .... + aq

Memenuhi syarat yang diminta.

Jika p = 1, maka :
bq - bp = ap+1 +.... + aq

habis dibagi 10 karena mempunyai sisa pembagian sq - sp. 

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Referensi :
  • Buku olimpiade matematika (Wono setya Budhi Ph. D)

Perumuman Prinsip Rumah Burung

Hallo temen-temen???
Pertama-tama gue ucapin trimakasih buat para pengunjung weblog gue :). Slamat datang di weblog paling bermanfaat sedunia.
Dan gue doaian semoga orang-orang yang ngunjungin weblog gue pada masuk surga semua, trs selama hidupnya selalu di beri kemudahan, trs all the best deh buat kalian :D
Udah kaya ulang tahun aja ya ???.... Sorry ya klo penulis suka bercanda :)
Kembali lagi bersama gue muhamad pajar sidik, gue adalah seorang penulis blogger yang ganteng dan baik hati :D cieeee.....
Di hari yang indah ini alhamdulillah gue bisa nulis artikel kembali, yang mudah-mudahan artikel ini bisa bermanfaat buat kalian semua.
Kali ini gue bakalan nulis artikel tentang Perumuman Prinsip Rumah Burung, Tanpa panjang lebar lagi yo banking concern jibe it out !

Perumuman Prinsip Rumah Burung

Prinsip rumah burung dapat dinayatakan dalam bentuk yang lebih umum. 

Sifat :

Perumuman prinsip rumah burung :
Misalkan q1, q2, ... , qn bilangan positif. Jika q1 + q2 + ... + qn - n + 1
Benda dibagi pada n kotak, maka salah satu atau lebih dari berikut terjadi, yaitu kotak ke 1 berisi q1, atau kotak ke-2 berisi q2, dan seterusnya sehingga, kotak ke-n berisi qn.

Bukti :

Misalkan barang sebanyak q1 + q2 + ... + qn - n + 1 kita bagi pada n kotak. Jika kotak 1 hanya berisi kurang dari q1, atau kotak 2 hanya berisi kurang dari q2, ...., kotak n hanya berisi kurang dari qn, maka jumlah barang yang ada tidak lebih dari :
(q1 - n) + (q2- 1) + ... + (qn - 1) = q1 + ..... + qn - n

Tetapi jumlah ini kurang satu dibandingkan yang ada, maka berarti ada kotak, misal ke j, yang berisi setidaknya aj.

Prinsip rumah burung yang sederhana merupakan implikasi dari teorema ini untuk q1 = q2 = .... = qn = 2. Yaitu ada barang sebanyak :
q1 + q2 + ... + qn - n + ane = 2n - n + ane = n + 1

Dan dibagi atau n kotak, maka ada kotak yang akan berisi 2 burung atau lebih.

Sekian artikel kali ini. Mohon maaf apabila ada salah-salah kata.
Subscribe to: Posts (Atom)